1P-Y SR Høst 2010

Figuren har $40$ ruter til sammen. Vi teller de røde rutene og finner at $16$ av dem er farget røde.

$\underline{\underline{{\displaystyle \frac{2}{5}}}}$ av figuren er farget.

Vi ser på hvilken størrelse hvert måldata beskriver:

• $\mathrm{2,5}\mathrm{d}\mathrm{l}$, $\mathrm{0,8}$ liter og $\mathrm{7,1}{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$ måler alle volum ($1$ liter $=1{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3=10\mathrm{d}\mathrm{l}$).
• $14\mathrm{d}\mathrm{m}$ måler lengde.
• $4\mathrm{h}\mathrm{g}$ måler masse.
• $12\mathrm{k}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}$ måler energi.

$\mathrm{2,5}\mathrm{d}\mathrm{l}$, $\mathrm{0,8}$ liter og $\mathrm{7,1}{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$ kan gjøres om til lik benevning og legges sammen, fordi de alle måler volum.

Vi gjør om kilogram til gram ved å gange med $1000$:

Vi gjør om kubikkmeter til kubikkdesimeter ved å gange med $1000$ (siden $1{\mathrm{m}}^3=1000{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$):

$\mathrm{0,3}\mathrm{k}\mathrm{g}=\underline{\underline{300\mathrm{g}}}$ og $\mathrm{4,3}{\mathrm{m}}^3=\underline{\underline{4300{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3}}$.

Vi setter $68$ inn for $°\text{F}$ i den oppgitte formelen:

$68°\text{F}$ tilsvarer $\underline{\underline{20°\text{C}}}$.

Vi løser likningen steg for steg:

$\underline{\underline{x=10}}$

Vi ganger ut parentesene. Merk at minustegnet foran den andre parentesen snur fortegnet på begge leddene inni:

Vi samler like ledd, $a$-ledd for seg og $b$-ledd for seg:

$\underline{\underline{-2a-3b}}$

Vi flytter kommaet slik at det står ett siffer foran komma, og teller hvor mange plasser vi har flyttet det:

$\underline{\underline{\mathrm{1,2}\cdot {10}^7}}$

Vi flytter kommaet slik at det står ett siffer (ikke null) foran komma. Siden tallet er mindre enn $1$, blir eksponenten negativ:

$\underline{\underline{\mathrm{7,1}\cdot {10}^{-4}}}$

Målestokk $1:100000$ betyr at $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ på kartet tilsvarer $100000\mathrm{c}\mathrm{m}$ i terrenget. Vi ganger opp avstanden på kartet:

Vi gjør om til meter (deler på $100$) og deretter til kilometer (deler på $1000$):

Det er $\underline{\underline{4\mathrm{km}}}$ i luftlinje mellom de to punktene.

Vi deler figuren i to deler: en firkant nederst og en trekant øverst til venstre (det skrå “taket”).

Firkanten nederst er $4\mathrm{m}$ bred og $4\mathrm{m}$ høy:

Trekanten øverst har grunnlinje $2\mathrm{m}$ og høyde $2\mathrm{m}$:

Totalt areal:

Arealet av figuren er $\underline{\underline{18{\mathrm{m}}^2}}$.

De vannrette og loddrette sidene i figuren kan vi lese direkte av rutenettet, siden hver rute er $1\mathrm{m}$.

Den skrå siden (taket) er derimot hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter $2\mathrm{m}$ og $2\mathrm{m}$. Lengden av den finner vi med Pytagoras’ setning:

Vi finner de rette sidene ved å telle ruter, finner den skrå siden med Pytagoras’ setning, og legger til slutt sammen alle sidelengdene for å finne omkretsen.

Trekanten $ABC$ er likebeint, med vinkel $v$ i både $A$ og $B$. Vinkelsummen i en trekant er $180°$:

$\underline{\underline{v=30°}}$

En økning på $12\%$ betyr at vi legger til $12\%$ av prisen, altså $100\%+12\%=112\%$ av den opprinnelige prisen:

Vekstfaktoren er $\underline{\underline{\mathrm{1,12}}}$.

En nedgang på $20\%$ betyr at vi trekker fra $20\%$ av prisen, altså sitter vi igjen med $100\%-20\%=80\%$ av den opprinnelige prisen:

Vekstfaktoren er $\underline{\underline{\mathrm{0,80}}}$.

Sykkelen kostet $4200\mathrm{kr}$ etter at prisen var satt ned med $30\%$. Det betyr at $4200\mathrm{kr}$ er $70\%$ (vekstfaktor $\mathrm{0,7}$) av den opprinnelige prisen. For å finne den opprinnelige prisen deler vi $4200\mathrm{kr}$ på $\mathrm{0,7}$:

Vi sjekker de fire uttrykkene:

• ${\displaystyle \frac{4200}{\mathrm{0,7}}}=6000$ (riktig)
• ${\displaystyle \frac{4200\cdot 30}{100}}+4200=1260+4200=5460$ (feil)
• ${\displaystyle \frac{4200\cdot 100}{70}}=6000$ (riktig — samme utregning som den første, bare skrevet med brøken $\frac{100}{70}$ i stedet for $\mathrm{0,7}$)
• ${\displaystyle \frac{4200\cdot 100}{30}}+4200=14000+4200=18200$ (feil)

Uttrykkene $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{4200}{\mathrm{0,7}}}}}$ og $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{4200\cdot 100}{70}}}}$ gir begge riktig svar: sykkelen kostet $6000\mathrm{kr}$ før salget.

Det faste beløpet er det vi betaler når vi ikke har ringt noe, altså der grafen skjærer den loddrette aksen. Vi leser av grafen ved $0$ ringeminutter: der står grafen på $90\mathrm{kr}$.

Det faste beløpet er $\underline{\underline{90\mathrm{kr}}}$ per måned.

Prisen per ringeminutt er stigningen til den rette linja. Vi leser av to punkter på grafen: ved $0$ minutter er beløpet $90\mathrm{kr}$, og ved $200$ minutter er beløpet $210\mathrm{kr}$.

Det betales $\underline{\underline{\mathrm{0,6}\mathrm{kr}}}$ per ringeminutt.

Totalbeløpet er fast beløp pluss pris per minutt ganger antall ringeminutter:

Vi setter inn $132\mathrm{kr}$ for totalbeløpet og løser likningen steg for steg:

Det er ringt i $\underline{\underline{70\min }}$ den måneden.

Bordet er til vanlig en sirkel med diameter $\mathrm{1,2}\mathrm{m}$. Når Emina setter inn de tre platene, kappes sirkelen i to like halvsirkler, og de tre platene settes inn mellom dem. Hver plate er $\mathrm{0,55}\mathrm{m}\times \mathrm{1,20}\mathrm{m}$, og siden platebredden $\mathrm{1,20}\mathrm{m}$ er lik diameteren, blir bordet en avlang form: et rektangel med to halvsirkler i endene.

De to halvsirklene utgjør til sammen én hel sirkel med diameter $\mathrm{1,2}\mathrm{m}$. De to rette langsidene består av de tre platene etter hverandre:

Omkretsen av bordet er da sirkelens omkrets pluss de to rette langsidene:

Omkretsen av bordet er ca. $\mathrm{7,07}\mathrm{m}$.

Hver gjest trenger ca. $\mathrm{0,6}\mathrm{m}$ plass langs kanten av bordet. Vi deler omkretsen på plassbehovet per gjest:

Siden det ikke er plass til en hel gjest til utover $11$, må svaret rundes ned:

Emina får plass til 11 gjester rundt bordet — hun må altså finne en annen løsning for den tolvte gjesten, for eksempel et lite tilleggsbord.

I trekant $ABC$ er vinkel $C=60°$ og vinkel $B=30°$. Da må vinkel $A$ være

I trekant $DEF$ er vinkel $F=60°$ og vinkel $E=30°$, så på samme måte er vinkel $D=90°$.

Trekantene $ABC$ og $DEF$ er formlike fordi de har parvis like vinkler ($60°$, $30°$ og $90°$).

Vinkel $C$ svarer til vinkel $F$, og vinkel $B$ svarer til vinkel $E$. Dermed svarer side $AB$ (mellom $A$ og $B$) til side $DE$ (mellom $D$ og $E$), og side $BC$ svarer til side $EF$.

Vi finner forholdet mellom sidene i de to trekantene ved å bruke det kjente sideparet $AB$ og $DE$:

Siden $BC$ svarer til $EF$, ganger vi $BC$ med dette forholdet for å finne $EF$:

Siden $EF$ er $\mathrm{13,5}\mathrm{cm}$ lang.

Av tabellen leser vi av prisen per m² for leilighet i januar 2009 og september 2009:

Prisøkningen i kroner per m² er

Prosentvis økning finner vi ved å dele økningen på prisen vi startet med:

Siden dette er en prosentvis økning i pris per m², gjelder den uansett størrelsen på leiligheten.

Prisen for en leilighet på $100{\mathrm{m}}^2$ økte med ca. $\mathrm{11,7}\%$ fra januar til september 2009.

Prisen per m² for leilighet i april 2009 var

I oppgaven får vi vite at prisen per m² har økt med $5\%$ fram til slutten av oktober 2009. Vi ganger med vekstfaktoren $\mathrm{1,05}$:

Leiligheten er $50{\mathrm{m}}^2$, så total pris blir

Katrine og venninnen må betale $1470000$ kroner for leiligheten.

Tomten er en rett kloss (et rektangulært prisme). Volumet finner vi ved å gange sammen lengde, bredde og dybde.

Det må graves ut 192 kubikkmeter masse.

Når massen graves opp, øker volumet med $15\%$. Ny volum blir da $115\%$ av det opprinnelige volumet.

Lastebilen tar $8{\mathrm{m}}^3$ per lass. Vi deler den løse massen på lastekapasiteten:

Siden $27$ lass ikke er nok til å ta med all massen, må sjåføren kjøre et lass til for restmengden. Vi runder derfor opp til $\underline{\underline{28\text{ billass}}}$.

Det trengs 28 billass for å kjøre bort massen.

Vi regner ut hva hver av de tre postene koster, og legger dem sammen.

Gravemaskinføreren graver ut de opprinnelige $192{\mathrm{m}}^3$ (før løsmasse-økningen), og får $200$ kr per ${\mathrm{m}}^3$:

Sjåføren kjører $28$ lass og får $500$ kr per lass:

Det betales $400$ kr i avgift for hvert av de $28$ lassene:

Total kostnad er summen av de tre postene:

Husbyggeren må betale 63 600 kroner for hele arbeidet.

Bruttolønn er timelønn ganger antall timer. I celle C4 skriver vi inn formelen som ganger sammen celle B1 (timelønn) og celle B2 (antall timer):

=B1*B2

Med timelønn $\mathrm{124,60}\text{ kr}$ i B1 og $12$ timer i B2 blir regnestykket:

Formelen i C4 er =B1*B2, og bruttolønnen blir 1495,20 kroner.

Amir har timelønn og bonus per salg. Bruttolønn er timelønn ganger antall timer, pluss bonus ganger antall salg. Vi setter opp regnearket slik:

Regner ut cellene med tall:

Amir hadde en bruttolønn på 7650 kroner, et skattetrekk på 2142 kroner og en nettolønn på 5508 kroner.

Anne har vanlig timelønn for de første 12 timene per uke, og 50 % tillegg på timene utover det. I løpet av fire uker jobbet hun altså $12\cdot 4=48\text{ timer}$ med vanlig lønn, i tillegg til $12$ overtidstimer. Vi setter opp regnearket slik:

Timelønnen med overtidstillegg blir:

Regner ut bruttolønn, skattetrekk og nettolønn:

Anne hadde en bruttolønn på 7788 kroner, et skattetrekk på 1168,20 kroner og en nettolønn på 6619,80 kroner.

Lønnskostnaden per potte finner vi ved å regne ut hva $20$ minutter arbeid koster når timelønnen er $120\mathrm{kr}$. $20$ minutter er ${\displaystyle \frac{20}{60}}$ time.

De variable kostnadene per potte er innkjøpspris, materialer, skål og lønn til sammen.

De variable kostnadene per potte er $95\mathrm{kr}$.

Salgsprisen er dekningsbidraget pluss de variable kostnadene per enhet.

Ungdomsbedriften har tatt $145\mathrm{kr}$ for blomsterpotten.

Først finner vi hvor mange potter som selges per måned. Ungdomsbedriften selger $50$ potter i uka, og en måned regnes som $4$ uker.

Det samlede dekningsbidraget per måned blir da:

De faste kostnadene per måned er summen av lager, nettside og kontorkostnader.

Fortjenesten er dekningsbidraget minus de faste kostnadene.

Ungdomsbedriften Potta har en fortjeneste på $23000\mathrm{kr}$ per måned.

Vi-Vi Mote kalkulerer varen steg for steg: først legger de på indirekte kostnader, så fortjeneste, og til slutt merverdiavgift. Hvert steg legger prosenten oppå det forrige beløpet.

Inntakskosten er $255$ kr. Indirekte kostnader er $75\%$ av inntakskosten.

Fortjenesten er $42\%$ av selvkosten.

Merverdiavgiften er $25\%$ av prisen eks. mva.

Vi setter opp hele produktkalkylen i en tabell:

Utsalgsprisen på varen blir 792,09 kroner.

Å legge til en prosent oppå et beløp er det samme som å multiplisere med en vekstfaktor. De tre påslagene i kalkylen har hver sin vekstfaktor:

• Indirekte kostnader $75\%$: vekstfaktor $\mathrm{1,75}$
• Fortjeneste $42\%$: vekstfaktor $\mathrm{1,42}$
• Mva $25\%$: vekstfaktor $\mathrm{1,25}$

I stedet for å regne de tre stegene hver for seg, kan vi multiplisere inntakskosten med alle tre vekstfaktorene etter hverandre. Da får vi samme svar som i produktkalkylen i oppgave a:

Den ansatte har funnet påslagstallet ved å multiplisere de tre vekstfaktorene sammen på forhånd, i stedet for å multiplisere dem én etter én med inntakskosten hver gang:

Sjekker vi med påslagstallet $\mathrm{3,1}$, får vi omtrent samme svar som i produktkalkylen (avviket skyldes at $\mathrm{3,1}$ er avrundet):

Det stemmer: 1,75 ganger 1,42 ganger 1,25 er omtrent 3,1, så å multiplisere inntakskosten direkte med 3,1 gir (nesten) samme utsalgspris som å legge på hver prosent for seg. Han fant påslagstallet ved å gange sammen de tre vekstfaktorene for indirekte kostnader, fortjeneste og mva.