Vis at rekke blir ln 2

For hånd

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved $1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots$

Det kan vises at

\int 1 d x + \int x d x + \int x^{2} d x + \int x^{3} d x + \dots = \int \frac{1}{1 - x} d x

Bruk denne sammenhengen til å vise at

\frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}} + \dots = \ln 2

I denne oppgaven kan du se bort fra integrasjonskonstantene.

Fasit

Oppgaven er et bevis. Se løsningsforslag.

Løsningsforslag

Vi har fått oppgitt at

\int 1 d x + \int x d x + \int x^{2} d x + \int x^{3} d x + \dots = \int \frac{1}{1 - x} d x

(1)

Vi gjennomfører resonnementet vårt i flere steg.

Integrasjon av høyre side

Vi ser først på høyre side av likning (1). Vi ser at vi kan integrere denne siden ved å gjøre variabelskiftet $u = 1 - x ⟹ \frac{d u}{d x} = - 1 ⟺ d x = - 1 \cdot d u$ .

Integralet blir (sett bort fra integrasjonskonstantene)

\int \frac{1}{1 - x} d x = \int \frac{1}{u} \cdot (- 1) d u = - \int \frac{1}{u} d u = - \ln | 1 - x |

Integrasjon av venstre side

Vi gjennomfører så integrasjonene på venstre side av likning (1) og får

\int 1 d x + \int x d x + \int x^{2} d x + \int x^{3} d x + \dots = x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{4} + \dots

Ved å integrere begge sidene av likning (1) har vi altså foreløpig vist at:

x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{4} + \dots = - \ln | 1 - x |

Vise at rekka er lik $\ln 2$

Vi skal vise at

\frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}} + \dots = \ln 2

(2)

Vi sammenligner venstre side i likning (2) med svaret vi fikk da vi integrerte venstre side i likning (1).

x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{4} + \dots = \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}} + \dots

(3)

Ved sammenligning av leddene ser vi at $x = \frac{1}{2}$ er en løsning av likning (3).

Siden $x = \frac{1}{2}$ , så sjekker vi hva $- \ln | 1 - x |$ gir oss når $x = \frac{1}{2}$

- \ln | 1 - x | = - \ln | 1 - \frac{1}{2} | = - \ln \underset{| \frac{1}{2} | = \frac{1}{2}}{\underset{⏟}{| \frac{1}{2} |}} = \underset{Regel: \ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b}{\underset{⏟}{- \ln (\frac{1}{2}) = - (\ln 1 \overset{0}{} - \ln 2)}} = \ln 2

Vi har altså vist at

x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{4} + \dots = - \ln | 1 - x |

Og for $x = \frac{1}{2}$ gjelder derfor:

\frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}} + \dots = \ln 2 ■

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Kandidater som integrerer riktig, kan få 1 poeng. Kandidater som viser sammenhengen ved bruk av en annen metode, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2025, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: S2, R2
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Bevis, Utforskning, Integrasjon, Uendelig rekke, Rekker, Substitusjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Vis at rekke blir ln 2

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vis at rekke blir ln 2

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Integrasjon av høyre side

Integrasjon av venstre side

Vise at rekka er lik $\ln 2$

Forstå oppgaven med en KI

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vis at rekke blir ln 2

Vis at rekke blir ln 2

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Integrasjon av høyre side

Integrasjon av venstre side

Vise at rekka er lik ln⁡2

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer

Vise at rekka er lik $\ln 2$