Vi skriver $f(x)=\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$ og bruker kvotientregelen ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }\cdot v-u\cdot v^{\prime }}{v^2}}$ med $u=\sin x$ og $v=\cos x$:

Siden ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, får vi

Vi deler telleren i ${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$ opp som ${\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=1+{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=1+{\tan }^{2}x$. Altså er

Fra a) vet vi at dersom $f(x)=\tan x$, er $f^{\prime }(x)=1+{\tan }^{2}x$. Integranden er dermed på formen ${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$, og vi vet at

Dette gir

Alternativ metode (substitusjon $u=\sin x$): Vi kan skrive om integranden ved å sette inn $\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$ og $1+{\tan }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$:

Med $u=\sin x$, $\mathrm{d}u=\cos x\mathrm{d}x$, gir dette (etter delbrøkoppspalting) samme svar, $\ln |\tan x|+C$, men med et mer omfattende regnestykke.