Vinkel i sirkel og trigonometri

I en sirkel er radius lik 3.

Figuren nedenfor viser en vinkel $v$ der toppunktet er plassert i sentrum av sirkelen og buelengden er 4.

Vinkel v i sirkel

Hvor stor er vinkelen $v$ gitt i

radianer?
grader?

Om en annen vinkel $u$ får du vite at $u \in ⟨ 0, \frac{π}{2} ⟩$ og $\tan u = 2$ .

Bestem de eksakte verdiene til $\sin u$ og $\cos u$ .

Fasit

4/3 radianer og omtrent 75º

$\sin u = \frac{2}{\sqrt{3}}$ og $\cos u = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Løsningsforslag

Radius $r = 3$ og buelengden $b = 4$ .

v = \frac{b}{r} = \frac{4}{3}

Det går $360 °$ på $2 π$ radianer.

v_{grader} = \frac{4}{3} \cdot \frac{360}{2 π} = \frac{4}{2} \cdot \frac{360}{3 π} = 2 \cdot \frac{120}{π} = \frac{240}{π} \approx 75 °

Vinkelen er $\frac{4}{3}$ radianer og omtrent $75 °$ .

Hvis $\tan u = 2$ så er $\frac{m k}{h k} = 2$ . Hvis vi gir hosliggende katet lengden 1, så blir motstående katet 2. Da blir hypotenusen

h = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}

Vi kan dermed sette opp eksakte verdier for $\sin u$ og $\cos u$ .

\sin u = \frac{m k}{h} = \frac{2}{\sqrt{5}} og \cos u = \frac{h k}{h} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å finne vinkelen i radianer og 1 poeng for å finne vinkelen i grader. Kandidater som setter $π \approx 3$ for å regne ut vinkelen i grader kan få full uttelling.

1 poeng for å finne sinusverdi og 1 poeng for å finne cosinusverdi. En god strategi som ikke fører helt fram kan også gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2025, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Enhetssirkel
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Vinkel i sirkel og trigonometri

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vinkel i sirkel og trigonometri

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vinkel i sirkel og trigonometri

Vinkel i sirkel og trigonometri

Lov på eksamen

Temaer