Vinkel APB og punkt Q på linje gjennom P

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A(1, 1)$ , $B(9, 7)$ og $P(5, 9)$ .

Vis at $\angle APB = 90\degree$ .

En linje $\ell$ er parallell med $\overrightarrow{AB}$ og går gjennom punktet $P$ .

Det er også et annet punkt $Q$ på $\ell$ som er slik at $\angle AQB = 90\degree$ .

Bestem koordinatene til $Q$ .

Fasit

$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0$ , så $\angle APB = 90\degree$

$Q = \left(\dfrac{1}{5},\ \dfrac{27}{5}\right)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker prikkproduktet til å vise at $\angle APB = 90\degree$ . To vektorer er vinkelrette hvis og bare hvis prikkproduktet er null.

Vi regner ut vektorene fra $P$ til henholdsvis $A$ og $B$ :

\overrightarrow{PA} = A - P = (1-5,\ 1-9) = (-4,\ -8)

\overrightarrow{PB} = B - P = (9-5,\ 7-9) = (4,\ -2)

Prikkproduktet er:

\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (-4) \cdot 4 + (-8) \cdot (-2) = -16 + 16 = 0

Siden $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0$ er vektorene vinkelrette, og $\textbf{\angle APB = 90\degree}$ .

Linjen $\ell$ er parallell med $\overrightarrow{AB}$ og går gjennom $P$ . Vi finner retningsvektoren:

\overrightarrow{AB} = B - A = (9-1,\ 7-1) = (8,\ 6)

Alle punkter på $\ell$ kan skrives som:

Q = P + t \cdot \overrightarrow{AB} = (5 + 8t,\ 9 + 6t), \quad t \in \mathbb{R}

For at $\angle AQB = 90\degree$ må $\overrightarrow{QA} \cdot \overrightarrow{QB} = 0$ .

Vi regner ut vektorene fra $Q$ :

\overrightarrow{QA} = A - Q = (1-(5+8t),\ 1-(9+6t)) = (-4-8t,\ -8-6t)

\overrightarrow{QB} = B - Q = (9-(5+8t),\ 7-(9+6t)) = (4-8t,\ -2-6t)

Prikkproduktet settes lik null:

\begin{aligned} \overrightarrow{QA} \cdot \overrightarrow{QB} &= (-4-8t)(4-8t) + (-8-6t)(-2-6t) \\ &= (-4-8t)(4-8t) + (8+6t)(2+6t) \\ &= (-16 + 32t - 32t + 64t^2) + (16 + 48t + 12t + 36t^2) \\ &= -16 + 64t^2 + 16 + 60t + 36t^2 \\ &= 100t^2 + 60t \\ &= 20t(5t + 3) \end{aligned}

20t(5t+3) = 0

t = 0 \quad \text{eller} \quad t = -\frac{3}{5}

$t = 0$ gir $Q = P = (5, 9)$ , som er det punktet vi allerede kjenner fra oppgave a). Det andre løsningen gir:

Q = \left(5 + 8 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right),\ 9 + 6 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)\right) = \left(5 - \frac{24}{5},\ 9 - \frac{18}{5}\right) = \left(\frac{1}{5},\ \frac{27}{5}\right)

$Q = \left(\dfrac{1}{5},\ \dfrac{27}{5}\right)$

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter