Vinkel APB og punkt Q på linje gjennom P

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (1, 1)$ , $B (9, 7)$ og $P (5, 9)$ .

Vis at $∠ A P B = 90 °$ .

En linje $ℓ$ er parallell med $\vec{A B}$ og går gjennom punktet $P$ .

Det er også et annet punkt $Q$ på $ℓ$ som er slik at $∠ A Q B = 90 °$ .

Bestem koordinatene til $Q$ .

Fasit

$\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ , så $∠ A P B = 90 °$

$Q = (\frac{1}{5}, \frac{27}{5})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker prikkproduktet til å vise at $∠ A P B = 90 °$ . To vektorer er vinkelrette hvis og bare hvis prikkproduktet er null.

Vi regner ut vektorene fra $P$ til henholdsvis $A$ og $B$ :

\vec{P A} = A - P = (1 - 5, 1 - 9) = (- 4, - 8)

\vec{P B} = B - P = (9 - 5, 7 - 9) = (4, - 2)

Prikkproduktet er:

\vec{P A} \cdot \vec{P B} = (- 4) \cdot 4 + (- 8) \cdot (- 2) = - 16 + 16 = 0

Siden $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ er vektorene vinkelrette, og $∠𝐀𝐏𝐁 = 𝟗𝟎°$ .

Linjen $ℓ$ er parallell med $\vec{A B}$ og går gjennom $P$ . Vi finner retningsvektoren:

\vec{A B} = B - A = (9 - 1, 7 - 1) = (8, 6)

Alle punkter på $ℓ$ kan skrives som:

Q = P + t \cdot \vec{A B} = (5 + 8 t, 9 + 6 t), t \in ℝ

For at $∠ A Q B = 90 °$ må $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B} = 0$ .

Vi regner ut vektorene fra $Q$ :

\vec{Q A} = A - Q = (1 - (5 + 8 t), 1 - (9 + 6 t)) = (- 4 - 8 t, - 8 - 6 t)

\vec{Q B} = B - Q = (9 - (5 + 8 t), 7 - (9 + 6 t)) = (4 - 8 t, - 2 - 6 t)

Prikkproduktet settes lik null:

\begin{matrix} \vec{Q A} \cdot \vec{Q B} & = (- 4 - 8 t) (4 - 8 t) + (- 8 - 6 t) (- 2 - 6 t) \\ = (- 4 - 8 t) (4 - 8 t) + (8 + 6 t) (2 + 6 t) \\ = (- 16 + 32 t - 32 t + 64 t^{2}) + (16 + 48 t + 12 t + 36 t^{2}) \\ = - 16 + 64 t^{2} + 16 + 60 t + 36 t^{2} \\ = 100 t^{2} + 60 t \\ = 20 t (5 t + 3) \end{matrix}

20 t (5 t + 3) = 0

t = 0 eller t = - \frac{3}{5}

$t = 0$ gir $Q = P = (5, 9)$ , som er det punktet vi allerede kjenner fra oppgave a). Det andre løsningen gir:

Q = (5 + 8 \cdot (- \frac{3}{5}), 9 + 6 \cdot (- \frac{3}{5})) = (5 - \frac{24}{5}, 9 - \frac{18}{5}) = (\frac{1}{5}, \frac{27}{5})

$Q = (\frac{1}{5}, \frac{27}{5})$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2022, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Trigonometri

Innstillinger