Vektorprodukt og areal av trekant ABC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt vektorene $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$ . Ingen av vektorene er $\vec{0}$ .

For hånd

Forklar hvordan vektorene ligger i forhold til hverandre

når $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

når $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$

når $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$

For hånd

Bruk definisjonen av $\vec{a} \cdot \vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ til å vise

{(\vec{a} \times \vec{b})}^{2} + {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = | \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2}

Skisse 1 viser en trekant utspent av vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Skisse 1: trekant utspent av vektorene a og b med areal F

For hånd

Forklar at arealet $F$ av trekanten er

F = \frac{1}{2} \sqrt{| \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2} - {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}}

Kommenter hvert av de to tilfellene $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ og $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ .

Skisse 2: trekant ABC med A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) og C(3, 1, 5)

Kalkulator

Bruk uttrykket i oppgave c) til å regne ut arealet av $△ A B C$ i skisse 2.

Fasit

1) $\vec{a} ⟂ \vec{b}$ 2) $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 3) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ er komplanare

Vist ved bruk av $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos v$ og $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin v$

Vist, med kommentarer til $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ og $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$

$F = \sqrt{21} \approx 4,58$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker de geometriske definisjonene $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos v$ og $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin v$ , der $v$ er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ( $0 ° \leq v \leq 180 °$ ). Siden ingen av vektorene er $\vec{0}$ , er $| \vec{a} | \neq 0$ og $| \vec{b} | \neq 0$ .

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \cos v = 0 \Leftrightarrow v = 90 °$ .

Vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ står altså normalt på hverandre.

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow \sin v = 0 \Leftrightarrow v = 0 °$ eller $v = 180 °$ .

Vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er altså parallelle (peker i samme eller motsatt retning).

$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ er spatproduktet, og tallverdien er lik volumet av parallellepipedet utspent av $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$ .

Når $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ , er dette volumet lik null. Det betyr at $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$ ligger i samme plan, altså at vektorene er komplanare (lineært avhengige).

Vi bruker definisjonene av skalarproduktet og vektorproduktet uttrykt ved vinkelen $v$ mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ :

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos v | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin v

Da blir

{(\vec{a} \times \vec{b})}^{2} + {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = | \vec{a} \times \vec{b} |^{2} + {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = {(| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin v)}^{2} + {(| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos v)}^{2}

= | \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2} \cdot (\sin^{2} v + \cos^{2} v) = | \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2}

siden $\sin^{2} v + \cos^{2} v = 1$ . Dermed er identiteten vist:

{(\vec{a} \times \vec{b})}^{2} + {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = | \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2}

Trekanten i skisse 1 er utspent av vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ fra samme hjørne, med mellomliggende vinkel $v$ . Arealet av trekanten er halvparten av arealet til parallellogrammet utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ :

F = \frac{1}{2} \cdot | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin v = \frac{1}{2} \cdot | \vec{a} \times \vec{b} |

siden $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin v$ (arealet av parallellogrammet).

Fra identiteten i b) har vi ${(\vec{a} \times \vec{b})}^{2} = | \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2} - {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}$ , altså

| \vec{a} \times \vec{b} | = \sqrt{| \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2} - {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}}

Setter vi dette inn, får vi

F = \frac{1}{2} \sqrt{| \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2} - {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}}

Kommentar til de to tilfellene:

Når $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (vektorene står normalt på hverandre), blir $F = \frac{1}{2} \sqrt{| \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2}} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ . Dette er den vanlige arealformelen for en rettvinklet trekant med kateter $| \vec{a} |$ og $| \vec{b} |$ — og siden $\sin 90 ° = 1$ gir dette det størst mulige arealet for gitte lengder $| \vec{a} |$ og $| \vec{b} |$ .
Når $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ (vektorene er parallelle), blir $F = \frac{1}{2} \sqrt{| \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2} - | \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2}} = 0$ . Da ligger $\vec{a}$ og $\vec{b}$ langs samme linje, og det dannes ingen ekte trekant (arealet blir null).

Vi finner først to vektorer som utspenner $△ A B C$ fra $A (1,1,1)$ :

\vec{a} = \vec{A B} = B - A = (2 - 1, 3 - 1, 4 - 1) = (1, 2, 3)

\vec{b} = \vec{A C} = C - A = (3 - 1, 1 - 1, 5 - 1) = (2, 0, 4)

Vi regner ut lengdene og skalarproduktet:

| \vec{a} |^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 14 | \vec{b} |^{2} = 2^{2} + 0^{2} + 4^{2} = 20

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 4 = 14

Setter vi inn i formelen fra c):

F = \frac{1}{2} \sqrt{| \vec{a} |^{2} \cdot | \vec{b} |^{2} - {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{14 \cdot 20 - 14^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{84} = \sqrt{21}

Kontrollert i GeoGebra CAS:

Areal av trekant ABC beregnet i GeoGebra CAS

$F = \sqrt{21} \approx 4,58$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

I tilfellet $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ godtas både en kvalitativ vurdering (to parallelle vektorer gir en trekant med høyde null) og algebraisk vurdering (innsetting i formelen).

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2012, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Areal og omkrets, Bevis

Vektorprodukt og areal av trekant ABC

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vektorprodukt og areal av trekant ABC

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vektorprodukt og areal av trekant ABC

Vektorprodukt og areal av trekant ABC

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer