Vektorer og volum av tetraeder

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A (2,0,0)$ , $B (0,3,0)$ , $C (0,0,4)$ og $O (0,0,0)$ .

Tetraeder ABCO

Bestem $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ og $\vec{A B} \times \vec{A C}$ .

Bestem volumet av tetraeder $A B C O$ .

Punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger i planet $α$ .

Vis at likningen til planet $α$ kan skrives

\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1

Fasit

$\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4$ , $\vec{A B} \times \vec{A C} = (12, 8, 6)$

$V = 4$

Se utregning

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

\vec{A B} = B - A = (- 2, 3, 0)

\vec{A C} = C - A = (- 2, 0, 4)

Prikkproduktet:

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = (- 2) (- 2) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 4

Kryssproduktet:

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 2 & 3 & 0 \\ - 2 & 0 & 4 \end{matrix} |

= (3 \cdot 4 - 0 \cdot 0) \vec{i} - ((- 2) \cdot 4 - 0 \cdot (- 2)) \vec{j} + ((- 2) \cdot 0 - 3 \cdot (- 2)) \vec{k}

= (12, 8, 6)

Volumet av tetraederet $A B C O$ finner vi med formelen

V = \frac{1}{6} | \vec{A O} \cdot (\vec{A B} \times \vec{A C}) |

der $\vec{A O} = O - A = (- 2, 0, 0)$ .

\vec{A O} \cdot (\vec{A B} \times \vec{A C}) = (- 2) \cdot 12 + 0 \cdot 8 + 0 \cdot 6 = - 24

V = \frac{1}{6} \cdot | - 24 | = 4

Kryssproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C} = (12, 8, 6)$ er en normalvektor til planet $α$ . Vi kan forkorte den med $2$ til $\vec{n} = (6, 4, 3)$ .

Planet gjennom $A (2,0,0)$ med normalvektor $\vec{n} = (6,4,3)$ har likning

6 (x - 2) + 4 (y - 0) + 3 (z - 0) = 0

6 x + 4 y + 3 z - 12 = 0

6 x + 4 y + 3 z = 12

Vi deler begge sider med $12$ :

\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1

som er det vi skulle vise. $■$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Volumet kan bestemmes ved å bruke vektorprodukt eller ved å regne ut $\frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2013, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Bevis

Innstillinger