Ukjent program h23

En elev har skrevet koden nedenfor

N = 1000
start = -2
slutt = 2
dx = (slutt - start)/N

def f(x):
   return x**2-1

S = 0
for i in range(N):
    xi = start + i*dx
    S = S + abs(f(xi))*dx  # abs(f(x)) gir absoluttverdien til f(x)

print(S)

Forklar hva eleven ønsker å regne ut med denne koden.

Finn ved regning den verdien eleven ønsker å bestemme.

Fasit

Programmet regner ut en tilnærming til arealet mellom $x$ -aksen, grafen til $f (x) = x^{2} - 1$ og linjene $x = - 2$ og $x = 2$ .

Verdien er 4.

Løsningsforslag

Programmet forsøker å regne ut en tilnærmingsverdi for arealene mellom $x$ -aksen, grafen til $f (x) = x^{2} - 1$ , linja $x = - 2$ og linja $x = 2$ .

Ved å bruke absoluttverdifunksjonen så tar programmet hensyn til at $f < 0$ i deler av intervallet.

Jeg ser at $f (x)$ har nullpunkter i $x = 1$ og $x = - 1$ . På grunn av symmetri vil

\int_{- 2}^{1} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x

For å regne ut det samlede arealet kan jeg derfor bruke uttrykket (minustegn foran integral nummer 2, siden grafen ligger under $x$ -aksen i dette intervallet)

2 \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x - \int_{- 1}^{1} (x^{2} - 1) d x

Jeg finner først det ubestemte integralet

F (x) = \int (x^{2} - 1) d x = \frac{1}{3} x^{3} - x + C

Jeg finner så arealet ved

\begin{matrix} 2 \cdot (F (2) - F (1)) - (F (1) - F (- 1)) \\ 2 \cdot F (2) - 3 \cdot F (1) + F (- 1) \\ 2 (\frac{1}{3} 2^{3} - 2) - 3 (\frac{1}{3} 1^{3} - 1) + (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (- 1)) \\ (\frac{16}{3} - 4) - (\frac{3}{3} - 3) + (\frac{- 1}{3} + 1) \\ - 4 + 3 + 1 + \frac{16}{3} - \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{12}{3} = 4 \end{matrix}

Verdien eleven forsøkte å bestemme er 4.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten kommentere at det er arealet mellom $x$ -aksen og grafen til $f$ mellom $x = - 2$ og $x = 2$ som regnes ut. Kandidater som kun sier noe om at det er et integral som regnes ut, kan få 1 poeng.

Kandidater som bare regner ut $\int_{- 2}^{2} f (x) d x$ kan få 1 poeng. Her kan det ikke gis full uttelling selv om det er følgefeil fra oppgave a).

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2023, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: S2, R2
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Programmering, Numerisk integrasjon, Integrasjon, Areal under graf
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Ukjent program h23

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Ukjent program h23

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Ukjent program h23

Ukjent program h23

Lov på eksamen

Temaer