Trigonometriske verdier og likning R2 V26

Bestem $\sin v$ og $\tan v$ når $\cos v = \frac{2}{3}$ og $v$ er en vinkel i 4. kvadrant.

Løs likningen

2 \cos (\frac{π}{3} x) = \sqrt{3}, x \in ⟨ 0, 10 ⟩

Fasit

$\sin v = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ , $\tan v = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

$x \in {\frac{1}{2}, \frac{11}{2}, \frac{13}{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker den trigonometriske grunnidentiteten

\sin^{2} v + \cos^{2} v = 1

og setter inn $\cos v = \frac{2}{3}$ :

\sin^{2} v = 1 - \cos^{2} v = 1 - {(\frac{2}{3})}^{2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

Dermed er $\sin v = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

Siden $v$ er en vinkel i 4. kvadrant, er $\sin v < 0$ , så

\sin v = - \frac{\sqrt{5}}{3}

Vi finner tangens ved

\tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{- \frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = - \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2}

$\sin v = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ og $\tan v = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Vi løser likningen

2 \cos (\frac{π}{3} x) = \sqrt{3}, x \in ⟨ 0, 10 ⟩

Deler begge sider på 2:

\cos (\frac{π}{3} x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Vi kjenner at $\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ når $θ = \frac{π}{6} + 2 π k$ eller $θ = - \frac{π}{6} + 2 π k$ , $k \in ℤ$ .

Tilfelle 1: $\frac{π}{3} x = \frac{π}{6} + 2 π k$

x = \frac{3}{π} (\frac{π}{6} + 2 π k) = \frac{1}{2} + 6 k

Tilfelle 2: $\frac{π}{3} x = - \frac{π}{6} + 2 π k$

x = \frac{3}{π} (- \frac{π}{6} + 2 π k) = - \frac{1}{2} + 6 k

Vi finner alle løsninger i intervallet $⟨ 0, 10 ⟩$ :

Fra tilfelle 1 ( $x = \frac{1}{2} + 6 k$ ):

$k$	$x$	I intervallet?
$0$	$\frac{1}{2}$	Ja
$1$	$\frac{13}{2}$	Ja
$2$	$\frac{25}{2}$	Nei

Fra tilfelle 2 ( $x = - \frac{1}{2} + 6 k$ ):

$k$	$x$	I intervallet?
$0$	$- \frac{1}{2}$	Nei
$1$	$\frac{11}{2}$	Ja
$2$	$\frac{23}{2}$	Nei

Løsningene er $x \in {\frac{1}{2}, \frac{11}{2}, \frac{13}{2}}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som får feil, men fornuftig sinusverdi, og finner tangensverdien på riktig måte, kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten begrunne negativ sinusverdi. Kandidater som ikke finner en sinusverdi, men bare setter opp formelen for tangensverdien, får ingen uttelling.

Kandidater som viser kompetanse innen trigonometriske likninger, men ikke kommer fram til tre løsninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2026, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Enhetssirkel, Likninger
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Trigonometriske verdier og likning R2 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trigonometriske verdier og likning R2 V26

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trigonometriske verdier og likning R2 V26

Trigonometriske verdier og likning R2 V26

Lov på eksamen

Temaer