Trigonometrisk regresjon for energiforbruk

Tabellen nedenfor viser det elektriske energiforbruket («strømforbruket») for en bolig måned for måned i 2019. Energiforbruket er målt i kWh.

Måned	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Energiforbruk (kWh)	1540	1480	1320	1050	800	750	660	730	940	1170	1300	1520

Krever PC

Bruk regresjon til å bestemme en trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen.

For en annen bolig er funksjonen $f$ gitt ved

f (t) = 1300 + 730 \cdot \sin (0,52 \cdot t + 1,07)

en god modell for energiforbruket per måned i 2019. Her er $f (1)$ forbruket i januar, $f (2)$ forbruket i februar og så videre.

Kalkulator

Når økte forbruket raskest, ifølge modellen $f$ ?

Kalkulator

Bestem $\int_{0}^{12} f (t) d t$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Energiprisen varierer også med tida på året. Funksjonen $p$ gitt ved

p (t) = 0,85 + 0,17 \cdot \sin (0,52 \cdot t + 1,07)

er en god modell for energiprisen i kroner per kWh. Her er $p (1)$ den gjennomsnittlige energiprisen i januar, $p (2)$ den gjennomsnittlige prisen i februar og så videre.

Kalkulator

Bestem den årlige energikostnaden til boligen dersom vi legger modellene $f$ og $p$ til grunn.

Fasit

$g (t) \approx 1108 + 443 \cdot \sin (0,52 t + 1,16)$

$t \approx 10,0$ (i begynnelsen av oktober)

$\int_{0}^{12} f (t) d t \approx 15547 kWh$

$\approx 13941 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker trigonometrisk regresjon (FitSin) på punktene $(t, y)$ fra tabellen, der $t$ er månedsnummeret og $y$ er energiforbruket i kWh. GeoGebra tilpasser en funksjon på formen $a \cdot \sin (b t + c) + d$ til datapunktene.

Trigonometrisk regresjon på energiforbruk

Regresjonen gir modellen

g (t) \approx 1108 + 443 \cdot \sin (0,52 t + 1,16)

der $t$ er månedsnummer og $g (t)$ er energiforbruket i kWh. Grafen viser at modellen passer godt med datapunktene fra tabellen.

Forbruket øker raskest der $f^{'} (t)$ er størst, altså der $f^{'}$ har et toppunkt. Vi deriverer $f$ og finner ekstremalpunktet til den deriverte i CAS.

CAS: derivert, ekstremalpunkt og integraler

Fra utklippet (linje 3) er $f^{'} (t) = 379,6 \cdot \cos (0,52 t + 1,07)$ . Ekstremalpunktene til $f^{'}$ finnes der $f^{''} (t) = 0$ ; av løsningene i intervallet $⟨ 0, 12 ⟩$ (linje 4–5) gir $t \approx 10,03$ verdien $f^{'} (10,03) \approx 379,6$ (linje 6), som er det høyeste mulige nivået til $f^{'}$ (lik amplituden til $f^{'}$ ). Dette er derfor et maksimumspunkt for $f^{'}$ .

Svar: Forbruket økte raskest ved $t \approx 10,0$ , altså i begynnelsen av oktober.

Vi beregner det bestemte integralet av $f$ over ett år, se linje 7 i utklippet over:

\int_{0}^{12} f (t) d t \approx 15547 kWh

Tolkning: Integralet er summen av alt energiforbruket gjennom hele året (fra $t = 0$ til $t = 12$ ), altså det totale årlige energiforbruket til boligen, ca. $15547 kWh$ .

Kostnaden per måned er forbruk ganger pris, altså $f (t) \cdot p (t)$ kr per måned. Den totale årlige kostnaden finner vi ved å integrere produktet over ett år, se linje 8 i utklippet:

\int_{0}^{12} f (t) \cdot p (t) d t \approx 13941 kr

Svar: Den årlige energikostnaden til boligen er omtrent $13941 kr$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2020, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Trigonometri, Bestemt integral

Trigonometrisk regresjon for energiforbruk

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trigonometrisk regresjon for energiforbruk

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trigonometrisk regresjon for energiforbruk

Trigonometrisk regresjon for energiforbruk

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer