Trevirke-avfall, trappeformel og loftstige

Tabellen nedenfor viser antall tonn med trevirke som har blitt til avfall fra nybygging, rehabilitering og riving i Norge over en periode på tre år.

År	Nybygging	Rehabilitering	Riving
2021	$101\;939$	$81\;972$	$51\;343$
2022	$110\;297$	$99\;013$	$61\;770$
2023	$105\;292$	$78\;274$	$48\;717$

Gjør beregninger og finn tallene som skal stå i de tomme rutene i tabellen ovenfor. Lag deretter en oversiktlig grafisk framstilling av den totale årlige avfallsmengden for de tre årene.

For at en trapp skal være god å gå i, bør den følge trappeformelen:

2 \cdot \text{opptrinn} + \text{inntrinn} = 620 \mathrm{~mm} \pm 20 \mathrm{~mm}

En lærling skal kontrollere en tegning av en trapp i et trehus. Trappen har målene nedenfor:

opptrinn: $150 \mathrm{~mm}$
inntrinn: $280 \mathrm{~mm}$

Gjør beregninger og vis at trappen ikke følger trappeformelen. Foreslå et nytt mål for inntrinnet slik at trappen følger trappeformelen.

En loftstige kan dras ned, som vist på bildet til høyre.

Takhøyden er $2{,}44 \mathrm{~m}$ .
Vinkelen mellom stigen og gulvet er $75\degree$ .

Loftstige med takhøyde 2,44 m og vinkel 75°

Bruk trigonometri og beregn lengden til loftstigen.

Fasit

2021: 235 254 tonn, 2022: 271 080 tonn, 2023: 232 283 tonn. Se søylediagram.

Trappeformelen gir 580 mm, men kravet er 600–640 mm. Inntrinnet bør justeres til 300–340 mm.

$\underline{\underline{2{,}53 \, \mathrm{m}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi summerer rad for rad for å fylle de tomme rutene i tabellen.

Et regneark kan settes opp slik:

	A	B	C	D	E
1	År		Avfallsmengde (tonn)
2		Nybygging	Rehabilitering	Riving	Totalt
3	2021	101 939	81 972	51 343	=SUMMER(B3:D3)
4	2022	110 297	99 013	61 770	=SUMMER(B4:D4)
5	2023	105 292	78 274	48 717	=SUMMER(B5:D5)

Resultat:

\text{Totalt 2021} = 101\,939 + 81\,972 + 51\,343 = \underline{\underline{235\,254}} \, \mathrm{tonn}

\text{Totalt 2022} = 110\,297 + 99\,013 + 61\,770 = \underline{\underline{271\,080}} \, \mathrm{tonn}

\text{Totalt 2023} = 105\,292 + 78\,274 + 48\,717 = \underline{\underline{232\,283}} \, \mathrm{tonn}

Den totale avfallsmengden var størst i 2022 (271 080 tonn) og minst i 2023 (232 283 tonn).

Grafisk framstilling (søylediagram):

Søylediagram – total avfallsmengde trevirke 2021–2023

Vi setter inn de oppgitte målene i trappeformelen:

2 \cdot \text{opptrinn} + \text{inntrinn} = 2 \cdot 150 \, \mathrm{mm} + 280 \, \mathrm{mm} = 300 \, \mathrm{mm} + 280 \, \mathrm{mm} = 580 \, \mathrm{mm}

Trappeformelen krever $620 \, \mathrm{mm} \pm 20 \, \mathrm{mm}$ , altså mellom $600 \, \mathrm{mm}$ og $640 \, \mathrm{mm}$ .

Siden $580 \, \mathrm{mm} < 600 \, \mathrm{mm}$ , følger trappen ikke trappeformelen.

For å finne et nytt inntrinn som gir godkjent trapp, sjekker vi grenseverdiene:

2 \cdot 150 \, \mathrm{mm} + \text{inntrinn} = 600 \, \mathrm{mm} \quad \Rightarrow \quad \text{inntrinn} = 300 \, \mathrm{mm}

2 \cdot 150 \, \mathrm{mm} + \text{inntrinn} = 640 \, \mathrm{mm} \quad \Rightarrow \quad \text{inntrinn} = 340 \, \mathrm{mm}

Trappen følger ikke trappeformelen (gir 580 mm, men kravet er 600–640 mm). Et justert inntrinn mellom 300 mm og 340 mm vil gjøre at trappen godkjennes.

Vi bruker at sinus er forholdet mellom motstående katet (takhøyde) og hypotenus (stigelengde):

\sin(75\degree) = \frac{\text{takhøyde}}{\text{stigelengde}}

Vi løser for stigelengden:

\text{stigelengde} = \frac{\text{takhøyde}}{\sin(75\degree)} = \frac{2{,}44 \, \mathrm{m}}{\sin(75\degree)} \approx \underline{\underline{2{,}53 \, \mathrm{m}}}

Loftstigen vil være 2,53 m lang.

Sensorveiledning

Sensor kan gi 1 poeng dersom kandidaten viser en del kompetanse, for eksempel ved å finne de riktige tallene som skal stå i de tomme rutene i tabellen.

For 2 poeng kreves riktige beregninger og en egnet grafisk framstilling (søylediagram, sektordiagram).

6 poeng

Sensor kan gi 1 poeng dersom kandidaten viser en del kompetanse, for eksempel ved å gjøre beregninger og vise at trappa ikke følger trappeformelen.

For 2 poeng må kandidaten også foreslå et nytt inntrinn slik at trappeformelen stemmer.

Sensor kan gi 1 poeng dersom kandidaten viser en del kompetanse, for eksempel ved å gjøre en del riktige beregninger, men ikke komme fram til riktig svar eller dersom svaret mangler benevning.

For 2 poeng kreves riktig svar med benevning. Kandidaten må ha brukt trigonometri for å komme fram til lengden til loftstigen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: tallregning, diagram, trigonometri, formler
Kompetansemål: Lese, bruke og lage rekneark i arbeidet med budsjett, anbod og kostnadsberekning knytt til bygg- og anleggsteknikk, og vurdere korleis ulike faktorar påverkar resultatet
Tolke og bruke formlar som gjeld daglegliv og yrkesliv
Innhente data frå praksisfeltet, gjere overslag og berekningar og lage formålstenlege framstillingar av resultata og presentere desse
Utforske og bruke eigenskapane ved geometriske figurar, målestokk og trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i problemløysing innanfor bygg- og anleggsfag