Tolkning av likningen. Cosinussetningen sier at for en trekant med sider $a$, $b$, $c$, der $A$ er vinkelen motsatt $a$:

Siri sin likning er

Sammenligner vi leddene, ser vi at $b=8$ og $c=x$ er de to kjente sidene, og at

Likningen beskriver altså en trekant der to sider, $8$ og $x$, danner en vinkel på $60°$, og $a$ er siden motsatt denne vinkelen. Dette gir en likning der $a$ og $x$ henger sammen — for gitt $a$ kan vi løse for $x$:

Dette er en andregradslikning i $x$, og vi løser med $abc$-formelen:

Når finnes reelle løsninger? Vi trenger $a^2-48\ge 0$, altså

Er $a<4\sqrt{3}$, finnes det ingen reell $x$ — ingen trekant er mulig for slike $a$-verdier.

Grensetilfellet $a=4\sqrt{3}$. Da er $a^2-48=0$, og vi får kun løsningen $x=4$. Sjekker vi vinkelen motsatt $x=4$ med cosinussetningen:

Da blir vinkelen ved den siste hjørnet $180°-60°-30°=90°$, motsatt siden $b=8$. Dette er altså en rettvinklet trekant med $8$ som hypotenus — det er akkurat tilfellet der $a$ er den korteste avstanden (høyden) fra det motstående hjørnet, og løsningen er entydig.

Tilfellet $4\sqrt{3}<a<8$. Her er $0<\sqrt{a^2-48}<4$, så begge røttene

er positive. Det gir to ulike trekanter med samme $a$, samme $b=8$ og samme vinkel $60°$, men ulik tredje side $x$ (den kjente tvetydigheten — «SSA-tilfellet» — fra sinussetningen/cosinussetningen).

Eksempel: $a=7$ gir $x=4\pm 1$, altså $x=3$ eller $x=5$ — to forskjellige trekanter med $a=7$, $b=8$ og vinkel $60°$.

Tilfellet $a=8$. Da er $\sqrt{a^2-48}=\sqrt{16}=4$, så $x=4-4=0$ eller $x=4+4=8$. Løsningen $x=0$ er degenerert (ingen trekant), så vi står igjen med én gyldig trekant: $x=8$. Siden $a=b=x=8$, er dette en likesidet trekant (alle sider $8$, alle vinkler $60°$).

Tilfellet $a>8$. Da er $\sqrt{a^2-48}>4$, så $x=4-\sqrt{a^2-48}<0$ (ugyldig), mens $x=4+\sqrt{a^2-48}>0$ er gyldig. Det gir én trekant.

Oppsummering:

Verdi av $a$	Antall trekanter	Merknad
$a<4\sqrt{3}\approx \mathrm{6,93}$	$0$	Ingen reell løsning
$a=4\sqrt{3}$	$1$	Rettvinklet trekant, $x=4$
$4\sqrt{3}<a<8$	$2$	To trekanter med ulik $x$
$a=8$	$1$	Likesidet trekant, $x=8$
$a>8$	$1$	Entydig trekant

Trekantene som tilfredsstiller likningen, går altså fra å ikke eksistere ($a$ for liten), via et vindu der to ulike trekanter er mulige, til at det igjen bare finnes én trekant for store $a$.