Trekant AEF i enhetskvadrat med midtpunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kvadrat ABCD med trekant AEF og vinkelen α ved A

Figuren ovenfor viser et kvadrat $A B C D$ . Sidene i kvadratet har lengde 1. $E$ er midtpunkt på $B C$ , og $F$ er midtpunkt på $C D$ .

Bruk Pytagoras’ setning til å vise at $A E$ og $A F$ har lengde $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Vis at arealet av $△ A E F$ er $\frac{3}{8}$ .

Vis at $\sin α = \frac{3}{5}$ .

Fasit

$A E = A F = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$Areal (△ A E F) = \frac{3}{8}$

$\sin α = \frac{3}{5}$

LøsningsforslagKI-generert

Trekant $A B E$ har rett vinkel i $B$ , siden $A B C D$ er et kvadrat. Katetene er $A B = 1$ og $B E$ , der $E$ er midtpunktet på $B C$ , slik at $B E = \frac{1}{2}$ . Pytagoras’ setning gir

A E = \sqrt{A B^{2} + B E^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}

På samme måte har trekant $A D F$ rett vinkel i $D$ , med $A D = 1$ og $D F = \frac{1}{2}$ (siden $F$ er midtpunktet på $D C$ ):

A F = \sqrt{A D^{2} + D F^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}

Dermed er $A E = A F = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Arealet av $△ A E F$ finner vi ved å ta arealet av hele kvadratet og trekke fra de tre hjørnetrekantene $△ A B E$ , $△ A D F$ og $△ E C F$ .

Kvadratet har areal $1 \cdot 1 = 1$ .

Areal (△ A B E) = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B E = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Areal (△ A D F) = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot D F = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Trekant $E C F$ har rett vinkel i $C$ , med $E C = B C - B E = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ og $C F = D C - D F = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ :

Areal (△ E C F) = \frac{1}{2} \cdot E C \cdot C F = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

Summen av de tre hjørnetrekantene er

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}

Arealet av $△ A E F$ blir dermed

Areal (△ A E F) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}

Vi bruker arealsetningen på $△ A E F$ , med vinkelen $α$ mellom sidene $A E$ og $A F$ :

Areal (△ A E F) = \frac{1}{2} \cdot A E \cdot A F \cdot \sin α

Vi setter inn $Areal (△ A E F) = \frac{3}{8}$ og $A E = A F = \frac{\sqrt{5}}{2}$ fra a) og b):

\frac{3}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \sin α = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \sin α = \frac{5}{8} \cdot \sin α

Vi løser for $\sin α$ :

\sin α = \frac{3 / 8}{5 / 8} = \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{5} = \frac{3}{5}

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2011, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Pytagoras, Areal og omkrets, Arealsetningen, Trigonometri

Trekant AEF i enhetskvadrat med midtpunkter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekant AEF i enhetskvadrat med midtpunkter

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekant AEF i enhetskvadrat med midtpunkter

Trekant AEF i enhetskvadrat med midtpunkter

Lov på eksamen

Temaer