Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = e^{x} (6 - e^{x})

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $f$ .

Vis at $f^{'} (x) = 2 e^{x} (3 - e^{x})$ .

Bestem koordinatene til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$ .
Avgjør om eventuelle punkter er topp- eller bunnpunkter.

Fasit

$x = \ln 6$

Se løsningsforslag.

Toppunkt $(\ln 3, 9)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har nullpunkter når en av faktorene $e^{x}$ eller $(6 - e^{x})$ er lik $0$ . $e^{x}$ kan aldri være $0$ , derfor trenger vi kun sjekke når $6 - e^{x} = 0$ .

6 - e^{x} = 0 ⟺ 6 = e^{x} ⟹ \ln 6 = x

$f$ har nullpunkt når $x = \ln 6$ .

Vi skriver om funksjonen som $f (x) = 6 e^{x} - e^{2 x}$ og deriverer ledd for ledd:

\begin{matrix} f^{'} (x) & = 6 e^{x} - 2 e^{2 x} \\ = 2 (3 e^{x} - e^{x} \cdot e^{x}) \\ = 2 e^{x} (3 - e^{x}) \end{matrix}

Vi setter $f^{'} (x) = 0$ :

2 e^{x} (3 - e^{x}) = 0

Siden $e^{x} > 0$ for alle $x$ , må:

3 - e^{x} = 0 ⟹ e^{x} = 3 ⟹ x = \ln 3

Vi lager et fortegnsskjema for $f^{'} (x) = 2 e^{x} (3 - e^{x})$ :

Fortegnslinje for f'(x) med sjablongkurve for f(x)

Siden $f^{'}$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x = \ln 3$ , er dette et toppunkt.

Funksjonsverdien i toppunktet:

f (\ln 3) = e^{\ln 3} \cdot (6 - e^{\ln 3}) = 3 \cdot (6 - 3) = 3 \cdot 3 = 9

Grafen har ett toppunkt: $(\ln 3, 9)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Kandidater som finner en løsning uten å kommentere at $e^{x}$ ikke kan bli null kan få et poeng. Viser de denne kompetansen i c så får de full uttelling.

Kandidater som viser god kompetanse innen derivasjon, men gjør en liten regnefeil kan få full uttelling.

Kandidater som finner koordinatene til punktet, kan få 1 poeng. For å få 2 poeng må kandidatene argumentere for at punktet er toppunkt.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2026, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer

Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26

Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26

Lov på eksamen

Temaer