Tolvkant innskrevet i sirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tolvkant innskrevet i sirkel med 30°-vinkel

En tolvkant er innskrevet i en sirkel. Se figuren ovenfor. Tolvkanten er satt sammen av tolv like store likebeinte trekanter. Arealet av tolvkanten er 120.

For hånd

Bestem diameter i sirkelen. Gi svaret eksakt.

For hånd

Bestem omkretsen av tolvkanten. Gi svaret eksakt.

Fasit

$d = 4 \sqrt{10}$

$O = 24 (\sqrt{15} - \sqrt{5})$

Løsningsforslag

Alle 12 trekantene er like store. Dermed må arealet av hver trekant være $\frac{120}{12} = 10$ .

Arealsetningen sier at

A = \frac{1}{2} a b \sin v

Siden trekantene våre er likebeinte med sidelengde $r$ og vi kjenner vinkelen mellom beina kan vi forenkle og regne ut.

\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} a b \sin v \\ 10 & = \frac{1}{2} r^{2} \cdot \sin 30 ° \\ \frac{2 \cdot 10}{\sin 30 °} & = r^{2} \\ \frac{20}{\frac{1}{2}} & = r^{2} \\ r & = \sqrt{40} \end{matrix}

Vi kan bestemme diameteren eksakt.

d = 2 r = 2 \cdot \sqrt{40} = 2 \cdot \sqrt{4 \cdot 10} = 2 \cdot 2 \sqrt{10} = 4 \sqrt{10}

Diameteren er $4 \sqrt{10}$ .

Vi kjenner to sider i trekantene og mangler den siste. Vi kan bruke cosinussetningen.

\begin{matrix} a^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos A \\ a^{2} & = {\sqrt{40}}^{2} + {\sqrt{40}}^{2} - 2 \sqrt{40} \cdot \sqrt{40} \cdot \cos 30 ° \\ a^{2} & = 40 + 40 - 2 \cdot 40 \cdot \cos 30 ° \\ a^{2} & = 80 - 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ a^{2} & = 80 (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ a^{2} & = 80 (\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ a^{2} & = 40 (2 - \sqrt{3}) \\ a & = \sqrt{40} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ a & = 2 \sqrt{10} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ a & = 2 \cdot \sqrt{20 - 10 \sqrt{3}} \end{matrix}

Tolvkanten består av tolv slike kanter.

O = 12 \cdot 2 \sqrt{20 - 10 \sqrt{3}} = 24 \sqrt{20 - 10 \sqrt{3}}

GeoGebra viser at dette kan forenkles til

O = 24 (\sqrt{15} - \sqrt{5})

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng i oppgave a). En kandidat som ikke regner med eksakte verdier, får maksimalt tre poeng.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng i oppgave b). Følgefeil kan gi full uttelling i oppgave b). En kandidat som ikke regner med eksakte verdier, får maksimalt tre poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2025, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Trigonometri, Areal og omkrets
Kompetansemål: Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Tolvkant innskrevet i sirkel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tolvkant innskrevet i sirkel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tolvkant innskrevet i sirkel

Tolvkant innskrevet i sirkel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer