Tolvkant innskrevet i sirkel

Tolvkant innskrevet i sirkel med 30°-vinkel

En tolvkant er innskrevet i en sirkel. Se figuren ovenfor. Tolvkanten er satt sammen av tolv like store likebeinte trekanter. Arealet av tolvkanten er 120.

Bestem diameter i sirkelen. Gi svaret eksakt.

Bestem omkretsen av tolvkanten. Gi svaret eksakt.

Fasit

$d=4\sqrt{ 10 }$

$O=24\left( \sqrt{ 15 } -\sqrt{ 5 } \right)$

Løsningsforslag

Alle 12 trekantene er like store. Dermed må arealet av hver trekant være $\frac{120}{12}=\underline{ 10 }$ .

Arealsetningen sier at

A=\frac{1}{2}ab \sin v

Siden trekantene våre er likebeinte med sidelengde $r$ og vi kjenner vinkelen mellom beina kan vi forenkle og regne ut.

\begin{aligned} A&=\frac{1}{2}ab \sin v \\ 10 &= \frac{1}{2} r^{2} \cdot \sin 30 \degree \\ \frac{2 \cdot 10}{\sin 30 \degree} &= r^{2} \\ \frac{20}{\frac{1}{2}} &= r^{2} \\ r&=\sqrt{ 40 } \end{aligned}

Vi kan bestemme diameteren eksakt.

d=2r=2 \cdot \sqrt{ 40 }=2 \cdot \sqrt{ 4 \cdot 10 }=2 \cdot 2 \sqrt{ 10 } = 4\sqrt{ 10 }

Diameteren er $\underline{\underline{ 4\sqrt{ 10 } }}$ .

Vi kjenner to sider i trekantene og mangler den siste. Vi kan bruke cosinussetningen.

\begin{aligned} a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc \cdot \cos A \\ a^{2}&=\sqrt{ 40 }^{2}+\sqrt{ 40 }^{2}- 2\sqrt{ 40 }\cdot \sqrt{ 40 } \cdot \cos 30 \degree \\ a^{2}&=40+40-2 \cdot 40 \cdot \cos 30\degree \\ a^{2}&=80-80\cdot \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \\ a^{2}&=80\left( 1-\frac{\sqrt{ 3 }}{2} \right) \\ a^{2}&=80\left( \frac{2}{2}-\frac{\sqrt{ 3 }}{2} \right) \\ a^{2}&=40\left( 2-\sqrt{ 3 }\right) \\ a &= \sqrt{ 40 } \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{ 3 }} \\ a &= 2\sqrt{ 10 } \cdot \sqrt{ 2-\sqrt{ 3 } } \\ a &= 2 \cdot \sqrt{ 20-10\sqrt{ 3 } } \end{aligned}

Tolvkanten består av tolv slike kanter.

O=12\cdot 2 \sqrt{ 20-10\sqrt{ 3 } }=24 \sqrt{ 20-10 \sqrt{ 3 } }

GeoGebra viser at dette kan forenkles til

\underline{\underline{ O=24 \left( \sqrt{ 15 } -\sqrt{ 5 } \right) }}

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng i oppgave a). En kandidat som ikke regner med eksakte verdier, får maksimalt tre poeng.

2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng i oppgave b). Følgefeil kan gi full uttelling i oppgave b). En kandidat som ikke regner med eksakte verdier, får maksimalt tre poeng.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: geometri, trigonometri, areal
Kompetansemål: Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal