To bunker med kort og Bayes setning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har to bunker med kort. I bunke A er det 5 røde og 3 svarte kort. I bunke B er det 3 røde og 4 svarte kort.

Vi velger tilfeldig én av bunkene og trekker tilfeldig 2 kort fra denne bunken.

Vi definerer følgende hendelser:

$F$ : Vi velger bunke A

$R$ : Vi trekker 2 røde kort

For hånd

Bestem $P (F)$ , $P (\overline{F})$ , $P (R | F)$ og $P (R | \overline{F})$ .

For hånd

Bestem $P (R)$ .

For hånd

Bruk Bayes’ setning til å bestemme $P (F | R)$ .

Fasit

$P (F) = \frac{1}{2}$ , $P (\overline{F}) = \frac{1}{2}$ , $P (R | F) = \frac{5}{14}$ , $P (R | \overline{F}) = \frac{1}{7}$

$P (R) = \frac{1}{4}$

$P (F | R) = \frac{5}{7}$

LøsningsforslagKI-generert

Siden vi velger tilfeldig én av de to like sannsynlige bunkene, er

P (F) = \frac{1}{2} P (\overline{F}) = \frac{1}{2}

$P (R | F)$ : Gitt at vi trekker fra bunke A (5 røde, 3 svarte, totalt 8 kort), er sannsynligheten for å trekke 2 røde kort uten tilbakelegging gitt ved forholdet mellom antall gunstige og antall mulige utfall (kombinasjoner):

P (R | F) = \frac{(\binom{5}{2})}{(\binom{8}{2})} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}

$P (R | \overline{F})$ : Gitt at vi trekker fra bunke B (3 røde, 4 svarte, totalt 7 kort):

P (R | \overline{F}) = \frac{(\binom{3}{2})}{(\binom{7}{2})} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}

Se PRgittF og PRgittFbar i CAS-utklippet under.

Vi bruker setningen om total sannsynlighet, siden $F$ og $\overline{F}$ er disjunkte og utfyllende hendelser:

P (R) = P (F) \cdot P (R | F) + P (\overline{F}) \cdot P (R | \overline{F})

P (R) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{14} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{28} + \frac{2}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}

Se PR i CAS-utklippet under.

CAS-utregning

Bayes’ setning gir

P (F | R) = \frac{P (F) \cdot P (R | F)}{P (R)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{14}}{\frac{1}{4}} = \frac{5}{7}

Se PFgittR i CAS-utklippet over. Dette betyr at hvis vi vet at det ble trukket 2 røde kort, er det $\frac{5}{7} \approx 71,4 %$ sannsynlig at kortene kom fra bunke A.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2016, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

To bunker med kort og Bayes setning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

To bunker med kort og Bayes setning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

To bunker med kort og Bayes setning

To bunker med kort og Bayes setning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer