Tidevann og trigonometrisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser vannstanden (tidevannshøyden) ved Stord verft i Sunnhordland, for noen tidspunkter 24. april 2023.

Antall timer etter midnatt	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19
Vannstand (cm)	99,6	119	94,3	60,5	53,4	76,0	96,7	115	99,9	68,1

En oljeplattform skal slepes ut fra verftet dagen etter. Dette må gjøres når vannstanden er mer enn 90 cm.

Krever PC

Lag en modell $f$ som du kan bruke til å bestemme vannstanden ved verftet i den aktuelle perioden.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Når vil vannstanden øke raskest den 25. april, ifølge modellen?

Det vil ta 2 timer å slepe ut oljeplattformen.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Ved hvilket klokkeslett kan de senest starte med å slepe ut plattformen?

Fasit

$f (t) = 31,04 \cdot \sin (0,5144 t + 0,1898) + 83,59$

kl. 00:04 og kl. 12:16 den 25. april

Senest kl. 15:59 (≈ kl. 16:00)

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn tabellverdiene i GeoGebra CAS og bruker TrigReg til å finne en sinusmodell. Alternativt kan vi bruke de forhåndsregnede parameterne fra regresjonen direkte:

f (t) = 31,04 \cdot \sin (0,5144 t + 0,1898) + 83,59

Her er $t$ antall timer etter midnatt 24. april, og $f (t)$ er vannstanden i cm.

Modellen har periode $T = \frac{2 π}{0,5144} \approx 12,2 timer$ , som er typisk for semidiurnalt tidevann (to høyvann og to lavvann per døgn).

$f (t) = 31,04 \cdot \sin (0,5144 t + 0,1898) + 83,59$

Vannstanden øker raskest når den deriverte $f^{'} (t)$ er størst.

Vi deriverer $f$ :

f^{'} (t) = 31,04 \cdot 0,5144 \cdot \cos (0,5144 t + 0,1898) \approx 15,967 \cdot \cos (0,5144 t + 0,1898)

Denne er størst når $\cos (0,5144 t + 0,1898) = 1$ , det vil si når

0,5144 t + 0,1898 = 2 π n, n \in ℤ

t = \frac{2 π n - 0,1898}{0,5144}

Den 25. april svarer til $t \in [24, 48]$ . Vi setter inn $n = 2$ og $n = 3$ :

n = 2 : t = \frac{4 π - 0,1898}{0,5144} \approx 24,06 (dvs. kl. 00:04)

n = 3 : t = \frac{6 π - 0,1898}{0,5144} \approx 36,27 (dvs. kl. 12:16)

Ifølge modellen øker vannstanden raskest den 25. april kl. $00 : 04$ og kl. $12 : 16$ .

Vi må finne et 2-timers tidsvindu der $f (t) > 90 cm$ gjennom hele perioden.

Vi løser $f (t) = 90$ for $t \in [24, 48]$ numerisk i GeoGebra CAS (NLøs):

GeoGebra CAS: f(t)=90 og derivert

CAS gir fire løsninger:

$t$ (timer)	Klokkeslett 25/4
$t \approx 24,46$	00:28
$t \approx 29,76$	05:46
$t \approx 36,68$	12:41
$t \approx 41,98$	17:59

Dette gir to vinduer der $f (t) > 90 cm$ :

Vindu 1: kl. 00:28 – 05:46 (varighet $\approx 5,3 timer$ ) → senest start kl. 03:46
Vindu 2: kl. 12:41 – 17:59 (varighet $\approx 5,3 timer$ ) → senest start kl. 15:59

Det siste mulige starttidspunktet på 25. april er i vindu 2:

t_{senest} = 41,98 - 2 = 39,98 timer etter midnatt 24/4

\Rightarrow 39,98 - 24 \approx 15,98 timer etter midnatt 25/4 \approx kl. 15 : 59

De kan senest starte å slepe ut oljeplattformen $ca. kl. 16 : 00$ den 25. april.

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Vi bruker modellen $f (t) = 31,04 \cdot \sin (0,5144 t + 0,1898) + 83,59$ fra a) og løser $f (t) = 90$ direkte med $\sin^{- 1}$ på kalkulatoren, i stedet for numerisk likningsløsning. Vi setter $θ = 0,5144 t + 0,1898$ :

31,04 \sin θ = 90 - 83,59 = 6,41 \Rightarrow \sin θ = \frac{6,41}{31,04} \approx 0,2065

Kalkulatoren gir $\sin^{- 1} (0,2065) \approx 0,2081 rad$ . De generelle løsningene er $θ = 0,2081 + 2 π n$ eller $θ = π - 0,2081 + 2 π n = 2,9335 + 2 π n$ . Vi løser for $t = \frac{θ - 0,1898}{0,5144}$ og velger $n$ slik at $t \in [24, 48]$ (25. april):

\begin{matrix} n = 2 (første familie): & t \approx 24,46 (kl. 00 : 28) \\ n = 2 (andre familie): & t \approx 29,76 (kl. 05 : 46) \\ n = 3 (første familie): & t \approx 36,68 (kl. 12 : 41) \\ n = 3 (andre familie): & t \approx 41,98 (kl. 17 : 59) \end{matrix}

Dette gir de samme to vinduene som over ( $00 : 28$ – $05 : 46$ og $12 : 41$ – $17 : 59$ ), begge med varighet $\approx 5,3$ timer. Det siste mulige starttidspunktet er $2$ timer før slutten av det siste vinduet:

t_{senest} = 41,98 - 2 = 39,98 \Rightarrow 39,98 - 24 \approx 15,98 timer etter midnatt 25/4 \approx kl. 15 : 59

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full uttelling, må det velges en rimelig modell som passer med tallene i tabellen.

Kandidater som løser likningen $f^{''} (x) = 0$ behøver ikke å argumentere for at det tidspunktet vannstanden øker raskest dersom kandidaten ser dette ut fra grafen til $f$ . Kandidaten behøver ikke å regne om til klokkeslett for å få full uttelling, selv om dette er ønskelig.

Ordet «senest» kan tolkes som senest denne dagen, eller senest innenfor en periode med flo. Begge tolkningene kan gi full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2023, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Modellering, Derivasjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett

Tidevann og trigonometrisk modell

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tidevann og trigonometrisk modell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tidevann og trigonometrisk modell

Tidevann og trigonometrisk modell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer