Tetraedervolum med vektorer og parameter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A (- 1, 1, 1)$ , $B (1, - 1, 0)$ og $C (- 1, 0, 2)$

Bestem $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

Vis at $A$ , $B$ og $C$ ligger i planet gitt ved

3 x + 2 y + 2 z - 1 = 0

Gitt punktet $D (s^{2} - 1, 3 s + 1, 10)$ , der $s$ er et reelt tall.

Bestem volumet av tetraederet $A B C D$ uttrykt ved $s$ .

Bestem det minste volumet tetraederet kan ha.

Fasit

$\vec{A B} = (2, - 2, - 1)$ , $\vec{A C} = (0, - 1,1)$

Alle tre punktene tilfredsstiller planlikningen — se løsningsforslag

$V (s) = \frac{1}{2} (s^{2} + 2 s + 6)$

$V_{\min} = 2,5$ (ved $s = - 1$ )

LøsningsforslagKI-generert

\vec{A B} = B - A = (1 - (- 1), - 1 - 1, 0 - 1) = (2, - 2, - 1)

\vec{A C} = C - A = (- 1 - (- 1), 0 - 1, 2 - 1) = (0, - 1,1)

Vi setter koordinatene til $A$ , $B$ og $C$ inn i planlikningen $3 x + 2 y + 2 z - 1 = 0$ :

$A (- 1,1,1)$ : $3 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1 = - 3 + 2 + 2 - 1 = 0$ ✓

$B (1, - 1,0)$ : $3 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 0 - 1 = 3 - 2 + 0 - 1 = 0$ ✓

$C (- 1,0,2)$ : $3 \cdot (- 1) + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 2 - 1 = - 3 + 0 + 4 - 1 = 0$ ✓

Alle tre punktene tilfredsstiller planlikningen, så $A$ , $B$ og $C$ ligger i planet $3 x + 2 y + 2 z - 1 = 0$ .

Volumet av tetraederet $A B C D$ er gitt ved

V = \frac{1}{6} | (\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D} |

Kryssproduktet:

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & - 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix} | = (- 3, - 2, - 2)

Vektoren $\vec{A D}$ :

\vec{A D} = D - A = (s^{2} - 1 - (- 1), 3 s + 1 - 1, 10 - 1) = (s^{2}, 3 s, 9)

Prikkproduktet:

(- 3, - 2, - 2) \cdot (s^{2}, 3 s, 9) = - 3 s^{2} - 6 s - 18

Volumet blir dermed

V (s) = \frac{1}{6} | - 3 s^{2} - 6 s - 18 | = \frac{1}{6} \cdot 3 (s^{2} + 2 s + 6) = \frac{1}{2} (s^{2} + 2 s + 6)

der vi kan fjerne absoluttverditegnet siden $s^{2} + 2 s + 6 = {(s + 1)}^{2} + 5 > 0$ for alle $s$ .

V (s) = \frac{1}{2} (s^{2} + 2 s + 6)

Vi fullfører kvadratet:

V (s) = \frac{1}{2} [{(s + 1)}^{2} + 5] = \frac{1}{2} {(s + 1)}^{2} + \frac{5}{2}

Siden ${(s + 1)}^{2} \geq 0$ for alle $s$ , er volumet minst når ${(s + 1)}^{2} = 0$ , altså når $s = - 1$ . Minste volum blir

V_{\min} = 0 + \frac{5}{2} = 2,5

V_{\min} = 2,5 volumenheter, ved s = - 1

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2018, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan, Volum

Innstillinger