Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua $2,0 ° C$ . De skrudde på varmen og stilte termostaten på $20 ° C$ . Tabell 1 viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Temperatur (°C)	$2,0$	$3,7$	$5,3$	$8,0$	$10,2$	$13,4$	$16,4$	$18,4$

Tabell 1

Eline og Malene vil lage en modell som viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen. De starter med å bruke tallene i tabell 1 til å lage en modell $T_{1}$ på formen $T_{1} (x) = a \cdot x^{b}$ .

Krever PC

Bestem tallene $a$ og $b$ .

Krever PC

Vurder gyldighetsområdet til modellen $T_{1}$ .

Eline og Malene ønsker å forbedre modellen $T_{1}$ . Eline foreslår at de skal trekke $20 ° C$ fra hver temperatur de har målt, og heller bruke en eksponentialfunksjon som modell. Hun setter opp en ny tabell.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Korrigert temperatur (°C)	$- 18,0$	$- 16,3$	$- 14,7$	$- 12,0$	$- 9,8$	$- 6,6$	$- 3,6$	$- 1,6$

Tabell 2

Krever PC

Lag en eksponentialfunksjon $f$ som passer godt til tallene i tabell 2.

Krever PC

Tegn grafen til $T_{1}$ og grafen til $f$ i samme koordinatsystem. Beskriv forskjeller mellom de to grafene.

Malene mener de kan bruke funksjonen $f$ til å lage en bedre modell enn $T_{1}$ for temperaturen i stua. «Vi løfter grafen til $f$ opp $20 ° C$ , slik at den starter omtrent i punktet $(0,2)$ », sier hun. «Da vil den passe perfekt.»

Krever PC

Bruk funksjonen $f$ , og lag en modell $T_{2}$ ved å gjøre som Malene foreslår. Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen $T_{2}$ ?

Fasit

$T_{1} (x) \approx 1,85 \cdot x^{0,49}$

Modellen gjelder bare i et begrenset tidsintervall (omtrent de to første timene). For store $x$ vokser $T_{1}$ ubegrenset og overstiger snart $20 ° C$ .

$f (x) \approx - 18,16 \cdot {0,980}^{x}$

Se graf. $T_{1}$ er positiv og vokser uten grense. $f$ er negativ og nærmer seg $0$ nedenfra (asymptote $y = 0$ ).

$T_{2} (x) = 20 - 18,16 \cdot {0,980}^{x}$ . Etter 4 timer: $T_{2} (240) \approx 19,86 ° C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker potensregresjon i GeoGebra CAS med tallene fra tabell 1.

T 1Data : = {(1; 2,0), (5; 3,7), (10; 5,3), (20; 8,0), (30; 10,2), (50; 13,4), (80; 16,4), (120; 18,4)}

𝚁𝚎𝚐𝙿𝚘𝚝(𝚃𝟷𝙳𝚊𝚝𝚊)

CAS-regresjon

GeoGebra gir $a \approx 1,85$ og $b \approx 0,49$ , det vil si:

T_{1} (x) \approx 1,85 \cdot x^{0,49}

$T_{1} (x) \approx 1,85 \cdot x^{0,49}$

$T_{1}$ er en potensfunksjon som vokser ubegrenset når $x$ øker. I virkeligheten kan temperaturen ikke overstige termostatens innstilte temperatur på $20 ° C$ . Vi ser allerede at $T_{1} (150) \approx 21,5 ° C$ , som er urealistisk.

Modellen er kun gyldig i et begrenset tidsrom — omtrent for de første to timene ( $x ≲ 120 m i n$ ) der datapunktene i tabell 1 ligger. For store verdier av $x$ gir modellen temperaturer som overstiger $20 ° C$ , noe som ikke er fysisk mulig.

Vi bruker eksponentialregresjon i GeoGebra CAS med den korrigerte temperaturen fra tabell 2.

La $g (x) = 18,16 \cdot {0,980}^{x}$ (regresjon på de positive verdiene av $|$ korrigert temperatur $|$ ). Da er eksponentialfunksjonen som passer til tabell 2:

f (x) \approx - 18,16 \cdot {0,980}^{x}

GeoGebra gir koeffisientene $a \approx - 18,16$ og $b \approx 0,980$ (se CAS-skjermbidet fra oppgave a):

f (x) \approx - 18,16 \cdot {0,980}^{x}

$f (x) \approx - 18,16 \cdot {0,980}^{x}$

Vi tegner grafene til $T_{1}$ og $f$ i samme koordinatsystem i GeoGebra.

Grafer for T1 og f

Forskjeller mellom de to grafene:

$T_{1}$ (grønn) er positiv for alle $x > 0$ og vokser ubegrenset — den har ingen horisontal asymptote.
$f$ (blå) er negativ for alle $x > 0$ og nærmer seg $0$ nedenfra etter hvert som $x$ øker — den har horisontal asymptote $y = 0$ .
$T_{1}$ øker raskest i begynnelsen (typisk potensatferd), mens $f$ flater ut mot asymptoten gradvis (typisk eksponentiell nedgang).

Malene foreslår å «løfte grafen til $f$ opp $20 ° C$ ». Det betyr at vi legger til $20$ til $f (x)$ :

T_{2} (x) = f (x) + 20 = 20 - 18,16 \cdot {0,980}^{x}

Etter 4 timer er $x = 4 \cdot 60 = 240 m i n$ . Vi regner ut:

T_{2} (240) = 20 - 18,16 \cdot {0,980}^{240}

Fra GeoGebra CAS (se skjermbildet fra oppgave a):

T_{2} (240) \approx 19,86 ° C

Ifølge modellen $T_{2}$ vil temperaturen i stua være omtrent $19,86 ° C$ etter 4 timer.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

En kandidat som bruker en potensfunksjon og velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktige svar, får 1 poeng.

En kandidat som tegner grafene, men ikke beskriver forskjeller på en god måte, får 1 poeng.

1 poeng for å komme fram til modellen $T_{2} (x) = - 18 \cdot {0,98}^{x} + 20$ . 1 poeng for å kunne bruke modellen til i å bestemme temperaturen i stua etter fire timer. En kandidat som kommer fram til feil modell, men velger riktig strategi for å bestemme temperaturen etter fire timer, får full uttelling dersom svaret som framkommer er rimelig.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2022, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Potensfunksjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer