Tangentlengde og sekantstykke i sirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sirkel med tangent fra ekstern punkt

Figuren ovenfor viser en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$ . Fra et punkt $A$ utenfor sirkelen trekker vi en linje som tangerer sirkelen i punktet $T$ . Linjen som går gjennom $A$ og $S$ skjærer sirkelen i $B$ og $C$ .

Vi setter $A T = x$ og $A B = y$

Bruk Pytagoras’ læresetning i $△ S A T$ til å vise:

x^{2} = y \cdot (y + 2 r)

Vi setter $∠ S C T = 30 °$ . Finn $y = A B$ uttrykt ved $r$ i dette tilfellet.

Fasit

Se bevis i løsningsforslaget.

$y = r$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $A T$ tangerer sirkelen i $T$ , står radien $S T$ vinkelrett på tangenten $A T$ . Trekant $S A T$ har derfor en rett vinkel i $T$ , og vi kan bruke Pytagoras’ læresetning:

S T^{2} + A T^{2} = A S^{2}

Vi setter inn $S T = r$ (radius) og $A T = x$ . For hypotenusen $A S$ merker vi oss at $B$ ligger mellom $A$ og $S$ på linja, slik at

A S = A B + B S = y + r

siden $B S = r$ (radius, da $B$ ligger på sirkelen). Vi setter dette inn i Pytagoras’ setning:

r^{2} + x^{2} = {(y + r)}^{2} = y^{2} + 2 r y + r^{2}

Vi trekker fra $r^{2}$ på begge sider:

x^{2} = y^{2} + 2 r y = y (y + 2 r)

x^{2} = y \cdot (y + 2 r) ■

I trekant $S C T$ er $S C = S T = r$ (begge er radier i sirkelen), så trekanten er likebeint med grunnlinje $C T$ . Dermed er vinklene ved grunnlinja like store:

∠ S C T = ∠ S T C = 30 °

Vinkelsummen i trekant $S C T$ gir oss vinkelen ved $S$ :

∠ C S T = 180 ° - 30 ° - 30 ° = 120 °

Siden $C$ , $S$ og $A$ ligger på samme linje med $S$ mellom $C$ og $A$ (linja gjennom $A$ og $S$ skjærer sirkelen i $B$ og $C$ ), er $∠ C S T$ og $∠ A S T$ supplementvinkler (de ligger på en rett linje):

∠ A S T = 180 ° - ∠ C S T = 180 ° - 120 ° = 60 °

I den rettvinklede trekanten $S A T$ (rett vinkel i $T$ ) er $∠ A S T = 60 °$ , og siden vinkelsummen er $180 °$ :

∠ S A T = 90 ° - 60 ° = 30 °

Siden $S T$ ligger motstående vinkel $∠ S A T$ , og $A S$ er hypotenusen, bruker vi sinus:

\sin (∠ S A T) = \frac{S T}{A S} \Rightarrow \sin (30 °) = \frac{r}{A S} \Rightarrow A S = \frac{r}{\sin (30 °)} = \frac{r}{0,5} = 2 r

Fra oppgave a) vet vi at $A S = y + r$ , så

y + r = 2 r \Rightarrow y = r

y = r

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2010, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sirkel, Trigonometri, Geometri

Tangentlengde og sekantstykke i sirkel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tangentlengde og sekantstykke i sirkel

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tangentlengde og sekantstykke i sirkel

Tangentlengde og sekantstykke i sirkel

Lov på eksamen

Temaer