Vi har $f(x)=\cos x$, og $P(a,f(a))$ er tangeringspunktet. Den deriverte er

slik at stigningstallet til tangenten i $P$ er $f^{\prime }(a)=-\sin a$. Ettpunktsformelen gir

Punktet $B$ (skjæring med $x$-aksen, $y=0$):

Punktet $A$ (skjæring med $y$-aksen, $x=0$):

Trekanten $OAB$ er rettvinklet med kateter langs aksene, med lengder $|OA|=a\sin a+\cos a$ og $|OB|=a+{\displaystyle \frac{\cos a}{\sin a}}$. Arealet blir

som er uttrykket vi skulle vise.

Siden $f^{\prime \prime }(x)=-\cos x<0$ for $a\in ⟨0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}⟩$, er cosinusgrafen konkav (hulsiden ned) i dette området, og tangenten ligger derfor over grafen for alle $x$.

Cosinusgrafen krysser $x$-aksen ved $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, og arealet under grafen fra $0$ til ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ er

Trekanten $OAB$ ligger mellom tangenten og aksene. Deler vi trekanten ved $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$:

• For $x$ mellom $0$ og ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ består trekantarealet av arealet under cosinuskurven ($=1$) pluss det fargelagte området mellom kurven og tangenten.
• For $x$ mellom ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ og $B$ er cosinuskurven under $x$-aksen, mens tangenten fremdeles er over. Hele denne stripen av trekanten hører da med i det fargelagte området (siden kurven ikke bidrar med noe areal over aksen der).

Totalt er altså trekantarealet lik summen av arealet under kurven fra $0$ til ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ (som er $1$) og det fargelagte arealet $T(a)$. Dermed

Vi taster inn

i GeoGebra (samme uttrykk som i b), bare forenklet ved å sette $F_{△OAB}$ på fellesbrøk) og tegner grafen for $a\in ⟨{\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}⟩$.

Grafen viser at $T$ avtar bratt fra en høy verdi nær $a={\displaystyle \frac{1}{5}}$, når et minimum omtrent midt i intervallet, og øker deretter mot en grenseverdi (den grønne linja) når $a$ nærmer seg ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

I GeoGebra bruker vi Extremum(T, 0.2, 1.5), som gir minimumspunktet

(se det røde punktet på grafen i d). Dermed er

Grenseverdi når $a\to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$: Siden $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=1$ og $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=0$, gir innsetting i $T(a)$

Dette stemmer med grenselinja på grafen. Selv om tangeringspunktet $P$ nærmer seg $({\displaystyle \frac{\pi }{2}},0)$ (der grafen krysser $x$-aksen), går altså det fargelagte arealet ikke mot null, men stabiliserer seg mot ${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{8}}-1\approx \underline{\underline{\mathrm{0,234}}}$.