Stråle gjennom origo og vinkler i trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A(0, 0)$ , $B(9, 1)$ og $C(24, 10)$ . En stråle $\ell$ er gitt ved parameterframstillingen

\ell: \begin{cases} x = 12t \\ y = 5t \end{cases}, \quad t > 0

Vis at $C$ ligger på $\ell$ .

Bruk vektorregning til å bestemme $\angle BAC$ .

Et annet punkt $D$ ligger på $\ell$ slik at $\angle ADB = 120\degree$ .

Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til $D$ .

Et punkt $E$ ligger på $\ell$ slik at arealet til $\triangle ABE$ er 11.

Bestem de eksakte koordinatene til $E$ .

Fasit

$C$ ligger på $\ell$ (med $t = 2$ )

$\angle BAC = \arccos\!\left(\dfrac{113\sqrt{82}}{1066}\right) \approx 16{,}28°$

$D = \left(\dfrac{1356 - 132\sqrt{3}}{169},\ \dfrac{565 - 55\sqrt{3}}{169}\right)$

$E = \left(8,\ \dfrac{10}{3}\right)$

LøsningsforslagKI-generert

Strålen $\ell$ er gitt ved $x = 12t$ , $y = 5t$ for $t > 0$ .

Vi prøver $C(24, 10)$ :

x = 24 \implies 12t = 24 \implies t = 2

y = 5 \cdot 2 = 10 \checkmark

Siden $t = 2 > 0$ gir begge koordinatene til $C$ , ligger $C$ på $\ell$ .

Vi bruker prikkprodukt for å finne $\angle BAC$ . Vektorene fra $A(0,0)$ er:

\vec{AB} = (9, 1), \qquad \vec{AC} = (24, 10)

\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 9 \cdot 24 + 1 \cdot 10 = 216 + 10 = 226

|\vec{AB}| = \sqrt{9^2 + 1^2} = \sqrt{82}, \qquad |\vec{AC}| = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{676} = 26

\cos(\angle BAC) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|} = \frac{226}{\sqrt{82} \cdot 26} = \frac{113\sqrt{82}}{1066}

\angle BAC = \arccos\!\left(\frac{113\sqrt{82}}{1066}\right) \approx 16{,}28°

$D$ ligger på $\ell$ , så $D = (12t,\, 5t)$ for en $t > 0$ .

Vektorene fra $D$ :

\vec{DA} = (0 - 12t,\; 0 - 5t) = (-12t,\, -5t)

\vec{DB} = (9 - 12t,\; 1 - 5t)

Prikkproduktet:

\vec{DA} \cdot \vec{DB} = (-12t)(9-12t) + (-5t)(1-5t) = -108t + 144t^2 - 5t + 25t^2 = 169t^2 - 113t

Lengdene:

|\vec{DA}| = \sqrt{144t^2 + 25t^2} = 13t

|\vec{DB}| = \sqrt{(9-12t)^2 + (1-5t)^2} = \sqrt{169t^2 - 226t + 82}

Betingelsen $\angle ADB = 120°$ gir $\cos(120°) = -\tfrac{1}{2}$ :

\frac{169t^2 - 113t}{13t\sqrt{169t^2 - 226t + 82}} = -\frac{1}{2}

For $t > 0$ deler vi med $t$ i teller og i $|\vec{DA}|$ :

\frac{169t - 113}{13\sqrt{169t^2 - 226t + 82}} = -\frac{1}{2}

Siden venstre side skal være negativ, kreves $169t - 113 < 0$ , altså $t < \tfrac{113}{169}$ .

Ganger begge sider med $-2 \cdot 13$ :

2(113 - 169t) = 13\sqrt{169t^2 - 226t + 82}

Kvadrerer (begge sider er positive):

4(113 - 169t)^2 = 169(169t^2 - 226t + 82)

4 \cdot 113^2 - 8 \cdot 113 \cdot 169t + 4 \cdot 169^2 t^2 = 169^2 t^2 - 169 \cdot 226t + 169 \cdot 82

3 \cdot 169^2 t^2 + 169(-904 + 226)t + (4 \cdot 12769 - 13858) = 0

85683t^2 - 114582t + 37218 = 0

Deler med GCD = 1014:

\frac{85683}{1014}\,t^2 - \frac{114582}{1014}\,t + \frac{37218}{1014} = 0

169 \cdot \frac{169}{2} \cdot \ldots

Vi løser direkte med andregradsformelen. Diskriminant:

\Delta = 114582^2 - 4 \cdot 85683 \cdot 37218 = 373\,235\,148 = (11154)^2 \cdot 3

\sqrt{\Delta} = 11154\sqrt{3} = 1014 \cdot 11\sqrt{3}

t = \frac{114582 \pm 1014 \cdot 11\sqrt{3}}{2 \cdot 85683} = \frac{114582 \pm 11154\sqrt{3}}{171366}

Deler teller og nevner med 1014:

t = \frac{113 \pm 11\sqrt{3}}{169}

Vi sjekker hvilken løsning som tilfredsstiller $t < \tfrac{113}{169}$ :

$t_1 = \dfrac{113 + 11\sqrt{3}}{169} \approx 0{,}781$ — oppfyller ikke $t < \tfrac{113}{169} \approx 0{,}669$
$t_2 = \dfrac{113 - 11\sqrt{3}}{169} \approx 0{,}556$ — oppfyller kravet $\checkmark$

t = \frac{113 - 11\sqrt{3}}{169}

Koordinatene til $D$ :

D = \left(\frac{12(113 - 11\sqrt{3})}{169},\; \frac{5(113 - 11\sqrt{3})}{169}\right) = \left(\frac{1356 - 132\sqrt{3}}{169},\; \frac{565 - 55\sqrt{3}}{169}\right)

$E$ ligger på $\ell$ , så $E = (12t,\, 5t)$ .

Arealet av $\triangle ABE$ med $A = (0,0)$ , $B = (9,1)$ , $E = (12t, 5t)$ :

\text{Areal} = \frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix} 9 & 12t \\ 1 & 5t \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|9 \cdot 5t - 1 \cdot 12t| = \frac{1}{2} \cdot 33t = \frac{33t}{2}

Setter arealet lik 11:

\frac{33t}{2} = 11 \implies t = \frac{2}{3}

E = \left(12 \cdot \frac{2}{3},\; 5 \cdot \frac{2}{3}\right) = \left(8,\; \frac{10}{3}\right)

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter