Største areal i rektangel med omkrets 64

Gjerde rundt et rektangulært område. — Kilde: UDIR

Per og Solveig har nok materialer til å lage et gjerde som er $64 m$ langt. De skal gjerde inn et område som skal ha form som et rektangel, og de ønsker at området skal få størst mulig areal.

Per påstår at arealet blir størst mulig dersom alle sidekantene er like lange.

Kalkulator

Vis at Per sin påstand kan være riktig, ved å lage en oversikt som viser arealet av ulike rektangler med omkrets $64 m$ .

Solveig lurer på om de kan tegne en graf som viser at Per har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.

Krever PC

Sett opp funksjonsuttrykket for Solveig. Tegn grafen, og vis at Per sin påstand er riktig.

Fasit

Oversikten viser at arealet er størst når alle sider er like lange ( $16 m$ ).

$A (x) = x (32 - x)$ . Toppunktet er $A (16) = 256 m^{2}$ , som bekrefter at Per har rett.

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være bredden i rektangelet (i meter). Siden omkretsen er $64 m$ , blir

2 (x + y) = 64 ⟹ y = 32 - x

der $y$ er lengden. Vi setter opp en oversikt over ulike verdier:

Bredde $x$ (m)	Lengde $y$ (m)	Areal $A = x \cdot y$ (m²)
4	28	112
8	24	192
12	20	240
14	18	252
16	16	256
18	14	252
20	12	240
24	8	192
28	4	112

Oversikten viser at arealet er størst når $x = 16 m$ og $y = 16 m$ , altså når rektangelet er et kvadrat. Dette støtter Pers påstand.

Vi bruker at $y = 32 - x$ og setter opp arealet som funksjon av $x$ :

A (x) = x \cdot (32 - x), x \in ⟨ 0, 32 ⟩

Vi finner toppunktet med GeoGebra CAS:

A^{'} (x) = - 2 x + 32 = 0 ⟹ x = 16

GeoGebra-graf av A(x) = x(32-x) med toppunkt markert

Grafen viser $A (x) = x (32 - x)$ med toppunktet $A = (16, 256)$ .

Siden toppunktet er i $x = 16$ , blir lengden $y = 32 - 16 = 16 m$ .

Rektangelet er altså et kvadrat med sidelengde $16 m$ , og det største arealet er

𝐀 (𝟏𝟔) = 𝟏𝟔 \cdot 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓𝟔 m^{𝟐}

Dette bekrefter Pers påstand.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten lage en systematisk oversikt som tydelig viser arealet av ulike rektangler med omkrets 64 m.
Det må gå klart fram av oversikten at $16 \cdot 16$ er et godt alternativ.
Mindre systematiske oversikter kan gi 1 eller 2 poeng.

2 poeng for å sette opp et riktig uttrykk for arealet.
2 poeng for en riktig grafisk framstilling som kommuniserer godt (forklaring langs aksene, fornuftig avgrensing), og en tydelig markering av toppunktet.
En kandidat som tegner riktig graf, men velger å bruke funksjonsuttrykket for å vise at Per sin påstand er riktig, kan også få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P H2022, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: 1T, 1P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Optimering, Andregradsfunksjon, Derivasjon, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Største areal i rektangel med omkrets 64

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Største areal i rektangel med omkrets 64

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Største areal i rektangel med omkrets 64

Største areal i rektangel med omkrets 64

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer