Sirkel med diameter og innskrevet trekant

Sirkel med sentrum S, diameter AB og C på periferien

En sirkel har sentrum i $S$ . $A B$ er diameter, og $C$ ligger på sirkelperiferien. Arealet av $△ S B C$ er $3 \cdot \sqrt{2}$ .

For hånd

Bestem sirkelens radius. Bruk eksakte verdier.

For hånd

Bestem arealet av $△ A B C$ . Bruk eksakte verdier.

Fasit

$r = 2 \sqrt{3}$

$T_{△ A B C} = 6 \sqrt{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $S$ er sentrum i sirkelen, er $S A = S B = S C = r$ (alle er radier). Dermed er $△ S B C$ likebeint med $S B = S C = r$ .

Fra figuren ser vi at $∠ B S C = 45 °$ .

Arealet av en trekant er $T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$ , der $a$ og $b$ er to sider og $C$ er vinkelen mellom dem. For $△ S B C$ :

T_{△ S B C} = \frac{1}{2} \cdot S B \cdot S C \cdot \sin (∠ B S C) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 45 ° = \frac{r^{2} \sqrt{2}}{4}

Vi setter opp likningen $T_{△ S B C} = 3 \sqrt{2}$ og løser i CAS:

GeoGebra CAS: Løs(¼√2·r² = 3√2, r) gir r = 2√3

\frac{r^{2} \sqrt{2}}{4} = 3 \sqrt{2} \Rightarrow r^{2} = 12 \Rightarrow 𝐫 = 𝟐 \sqrt{𝟑}

(Den negative løsningen $r = - 2 \sqrt{3}$ forkastes siden en radius er positiv.)

$△ A B C$ og $△ S B C$ har felles høyde fra $C$ ned til linja $A B$ .

Derfor er arealet av $△ A B C$ dobbelt så stort som arealet av $△ S B C$ :

T_{△ A B C} = \frac{A B}{S B} \cdot T_{△ S B C} = \frac{2 r}{r} \cdot 3 \sqrt{2} = 2 \cdot 3 \sqrt{2} = 𝟔 \sqrt{𝟐}

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2022, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Trigonometri, Sirkel, Eksakte verdier, Arealsetningen
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Innstillinger