Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26

Trekant ABD med diagonal AC, der vinkel A er 45 grader, vinkel D er 60 grader, vinkel ACB er 105 grader, AC er rot 2 og CB er 1

Gitt figuren ovenfor.

Kalkulator

Bruk trigonometri til å bestemme lengden av sidekanten $A B$ .

Kalkulator

Bruk trigonometri til å bestemme arealet av trekanten $A B D$ .

Fasit

$A B = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \approx 1,93$

$T_{A B D} = \frac{5 \sqrt{3} + 9}{12} \approx 1,47$

LøsningsforslagKI-generert

I trekant $A B C$ kjenner vi to sider og den mellomliggende vinkelen:

$A C = \sqrt{2}$
$C B = 1$
$∠ A C B = 105 °$

Vi bruker derfor cosinussetningen for å finne $A B$ :

A B^{2} = A C^{2} + C B^{2} - 2 \cdot A C \cdot C B \cdot \cos (∠ A C B)

A B^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} + 1^{2} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \cos 105 °

A B^{2} = 2 + 1 - 2 \sqrt{2} \cos 105 °

Numerisk:

import math
AB_sq = 2 + 1 - 2*math.sqrt(2)*math.cos(math.radians(105))
print(AB_sq, math.sqrt(AB_sq))
# 3.7320508..., 1.9318516...

Vi får $A B^{2} \approx 3,732$ , så

A B = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \approx 1,93

(Den eksakte verdien $2 + \sqrt{3}$ kommer fra $\cos 105 ° = - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ , som gir $A B^{2} = 3 + \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} = 3 + \frac{\sqrt{12} - 2}{2} = 2 + \sqrt{3}$ .)

$A B \approx 1,93$

Vi deler trekant $A B D$ i de to deltrekanene $A B C$ og $A C D$ , og beregner arealet av hver.

Areal av trekant $A B C$ :

T_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot C B \cdot \sin (∠ A C B) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \sin 105 ° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{12} + 2}{8} = \frac{2 \sqrt{3} + 2}{8} = \frac{\sqrt{3} + 1}{4}

Finn $C D$ ved sinussetningen i trekant $A C D$ :

Siden $∠ A C B = 105 °$ er $∠ A C D = 180 ° - 105 ° = 75 °$ (supplementvinkler). I trekant $A C D$ er $∠ D = 60 °$ , $∠ A C D = 75 °$ , og dermed $∠ C A D = 180 ° - 60 ° - 75 ° = 45 °$ .

Sinussetningen i trekant $A C D$ gir

\frac{C D}{\sin (∠ C A D)} = \frac{A C}{\sin (∠ D)} ⟹ C D = \sqrt{2} \cdot \frac{\sin 45 °}{\sin 60 °} = \sqrt{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

Areal av trekant $A C D$ :

T_{A C D} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot C D \cdot \sin (∠ A C D) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin 75 °

Vi bruker $\sin 75 ° = \sin (45 ° + 30 °) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ :

T_{A C D} = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{6 + \sqrt{12}}{12} = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{12} = \frac{3 + \sqrt{3}}{6}

Totalt areal:

T_{A B D} = T_{A B C} + T_{A C D} = \frac{\sqrt{3} + 1}{4} + \frac{3 + \sqrt{3}}{6}

Felles nevner 12:

T_{A B D} = \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{12} + \frac{2 (3 + \sqrt{3})}{12} = \frac{3 \sqrt{3} + 3 + 6 + 2 \sqrt{3}}{12} = \frac{5 \sqrt{3} + 9}{12}

$T_{A B D} = \frac{5 \sqrt{3} + 9}{12} \approx 1,47$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

En kandidat som setter opp et riktig uttrykk eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Her gis i utgangspunktet 2 poeng for å bestemme en ukjent side og 1 poeng for å bestemme et riktig areal.

En kandidat som bare bestemmer arealet av trekant $A B C$ , får 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2026, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Geometri
Kompetansemål: Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26

Sinussetningen og arealsetningen i sammensatt trekant 1T V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer