Sinusmodell for elektrisk spenning

Tabellen nedenfor viser elektrisk spenning målt i en stikkontakt i Norge.

Sekunder ( $t$ )	0,0020	0,0050	0,0070	0,0100	0,0130	0,0150	0,0180	0,0200
Målt spenning ( $U$ )	189	323	259	$- 2,12$	$- 261$	$- 327$	$- 189$	$3,52$

Krever PC

Bestem en modell $U$ for spenningen $U (t)$ volt (V) i stikkontakten $t$ sekunder etter at målingene startet.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

På hvilke tidspunkter i løpet av de første $0,0200$ sekundene er spenningen 230 V ifølge modellen?

Nettspenningen i Norge (den elektriske spenningen i vanlige stikkontakter) er 230 V.

Truls lurer på om målingene som er gjort, kan være riktige. Han finner ut at spenningen i kontakten er en vekselspenning. Det betyr at spenningen varierer periodisk med tiden. Når spenningen oppgis å være 230 V, er dette noe som kalles effektivverdien til spenningen og er gitt ved

U_{effektiv} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} {(U (t))}^{2} d t}

der $T$ er perioden til funksjonen $U$ .

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bruk modellen fra oppgave a og formelen ovenfor til å hjelpe Truls med å avgjøre om målingene kan være riktige.

Fasit

$U (t) \approx 323 \sin (100 π t)$

$t \approx 0,0025 s$ og $t \approx 0,0075 s$

$U_{effektiv} = \frac{323}{\sqrt{2}} \approx 229 V \approx 230 V$ — målingene er riktige

Løsningsforslag

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker RegSin til å finne en sinusmodell:

Regresjonsmodell og datapunkter for oppgave 2-2a

RegSin gir

U (t) \approx 323,47 \cdot \sin (314,81 \cdot t - 0,003) - 0,91

Siden fasevinkelen ( $- 0,003$ ) og konstantleddet ( $- 0,91$ ) er svært nær null, og $314,81 \approx 100 π$ , forenkler vi til

U (t) \approx 323 \cdot \sin (100 π t)

Modellen $U (t) \approx 323 \sin (100 π t)$ beskriver spenningen godt.

Vi løser $U (t) = 230$ :

323 \sin (100 π t) = 230 ⟹ \sin (100 π t) = \frac{230}{323} \approx 0,7121

100 π t = \arcsin (0,7121) \approx 0,789 rad eller 100 π t = π - 0,789 \approx 2,353 rad

t_{1} = \frac{0,789}{100 π} \approx 0,0025 s, t_{2} = \frac{2,353}{100 π} \approx 0,0075 s

Spenningen er $230 V$ ved $t \approx 0,0025 s$ og $t \approx 0,0075 s$ .

Vi bruker modellen $U (t) = 323 \sin (100 π t)$ med periode $T = 0,0200 s$ :

\begin{matrix} U_{effektiv} & = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} {[U (t)]}^{2} d t} \\ = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} 323^{2} \sin^{2} (100 π t) d t} \end{matrix}

Siden $\int_{0}^{T} \sin^{2} (ω t) d t = \frac{T}{2}$ for en hel periode:

U_{effektiv} = \sqrt{\frac{323^{2}}{T} \cdot \frac{T}{2}} = \frac{323}{\sqrt{2}} \approx 228,5 \approx 229 V

Effektivverdien er $\approx 229 V \approx 230 V$ , som stemmer godt med at nettspenningen i Norge er 230 V. Målingene kan være riktige.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidaten må ha en trigonometrisk funksjon for å få full uttelling.

Kandidater som bare finner én av løsningene kan få 1 poeng.

For å få full uttelling må konklusjonen støttes opp med beregninger.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2025, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Trigonometri, Integrasjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett

Sinusmodell for elektrisk spenning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sinusmodell for elektrisk spenning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sinusmodell for elektrisk spenning

Sinusmodell for elektrisk spenning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer