Sinusmodell for elektrisk spenning

Tabellen nedenfor viser elektrisk spenning målt i en stikkontakt i Norge.

Sekunder ( $t$ )	0,0020	0,0050	0,0070	0,0100	0,0130	0,0150	0,0180	0,0200
Målt spenning ( $U$ )	189	323	259	$-2{,}12$	$-261$	$-327$	$-189$	$3{,}52$

Bestem en modell $U$ for spenningen $U(t)$ volt (V) i stikkontakten $t$ sekunder etter at målingene startet.

På hvilke tidspunkter i løpet av de første $0{,}0200$ sekundene er spenningen 230 V ifølge modellen?

Nettspenningen i Norge (den elektriske spenningen i vanlige stikkontakter) er 230 V.

Truls lurer på om målingene som er gjort, kan være riktige. Han finner ut at spenningen i kontakten er en vekselspenning. Det betyr at spenningen varierer periodisk med tiden. Når spenningen oppgis å være 230 V, er dette noe som kalles effektivverdien til spenningen og er gitt ved

U_{\text{effektiv}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} (U(t))^2\, dt}

der $T$ er perioden til funksjonen $U$ .

Bruk modellen fra oppgave a og formelen ovenfor til å hjelpe Truls med å avgjøre om målingene kan være riktige.

Fasit

$U(t) \approx 323\sin(100\pi t)$

$t \approx 0{,}0025 \, \mathrm{s}$ og $t \approx 0{,}0075 \, \mathrm{s}$

$U_{\text{effektiv}} = \dfrac{323}{\sqrt{2}} \approx 229 \, \mathrm{V} \approx 230 \, \mathrm{V}$ — målingene er riktige

Løsningsforslag

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker RegSin til å finne en sinusmodell:

Regresjonsmodell og datapunkter for oppgave 2-2a

RegSin gir

U(t) \approx 323{,}47 \cdot \sin(314{,}81 \cdot t - 0{,}003) - 0{,}91

Siden fasevinkelen ( $-0{,}003$ ) og konstantleddet ( $-0{,}91$ ) er svært nær null, og $314{,}81 \approx 100\pi$ , forenkler vi til

U(t) \approx 323 \cdot \sin(100\pi t)

Modellen $\underline{\underline{U(t) \approx 323\sin(100\pi t)}}$ beskriver spenningen godt.

Vi løser $U(t) = 230$ :

323\sin(100\pi t) = 230 \implies \sin(100\pi t) = \frac{230}{323} \approx 0{,}7121

100\pi t = \arcsin(0{,}7121) \approx 0{,}789 \, \mathrm{rad} \quad \text{eller} \quad 100\pi t = \pi - 0{,}789 \approx 2{,}353 \, \mathrm{rad}

t_1 = \frac{0{,}789}{100\pi} \approx 0{,}0025 \, \mathrm{s}, \qquad t_2 = \frac{2{,}353}{100\pi} \approx 0{,}0075 \, \mathrm{s}

Spenningen er $230 \, \mathrm{V}$ ved $\underline{\underline{t \approx 0{,}0025 \, \mathrm{s}}}$ og $\underline{\underline{t \approx 0{,}0075 \, \mathrm{s}}}$ .

Vi bruker modellen $U(t) = 323\sin(100\pi t)$ med periode $T = 0{,}0200 \, \mathrm{s}$ :

\begin{aligned} U_{\text{effektiv}} &= \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} [U(t)]^2 \, \mathrm{d}t} \\ &= \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} 323^2 \sin^2(100\pi t) \, \mathrm{d}t} \end{aligned}

Siden $\displaystyle\int_0^T \sin^2(\omega t)\, \mathrm{d}t = \dfrac{T}{2}$ for en hel periode:

U_{\text{effektiv}} = \sqrt{\frac{323^2}{T} \cdot \frac{T}{2}} = \frac{323}{\sqrt{2}} \approx 228{,}5 \approx 229 \, \mathrm{V}

Effektivverdien er $\approx 229 \, \mathrm{V} \approx 230 \, \mathrm{V}$ , som stemmer godt med at nettspenningen i Norge er 230 V. Målingene kan være riktige.

Sensorveiledning

Kandidaten må ha en trigonometrisk funksjon for å få full uttelling.

Kandidater som bare finner én av løsningene kan få 1 poeng.

For å få full uttelling må konklusjonen støttes opp med beregninger.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: regresjon, trigonometri, integral
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett