Rettvinklet trekant og tetraeder med arealsetning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har en rettvinklet trekant med kateter $a$ og $b$ og hypotenus $c$ . Høyden ned på hypotenusen kalles $h$ . Se figuren til høyre.

Rettvinklet trekant med høyde h ned på hypotenusen

For hånd

Forklar at $a \cdot b = c \cdot h$

Bruk Pytagoras’ setning og vis at

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{h^{2}}

Vi vil nå studere tetraederet $O A B C$ . Hjørnet $O$ er plassert i origo, $A (a, 0, 0)$ på $x$ -aksen, $B (0, b, 0)$ på $y$ -aksen og $C (0, 0, c)$ på $z$ -aksen. Se figuren nedenfor.

Tetraeder OABC med hjørner på aksene

For hånd

Finn $\vec{A B} \times \vec{A C}$ uttrykt ved $a$ , $b$ og $c$ . Finn arealet av trekanten $A B C$ .

En arealsetning som er oppkalt etter Pytagoras, sier at

F_{△ A B C}^{2} = F_{△ O A C}^{2} + F_{△ O B C}^{2} + F_{△ O A B}^{2}

Her betyr $F_{△ A B C}$ arealet av trekanten $A B C$ . Tilsvarende gjelder for leddene på høyre side.

For hånd

Kontroller at arealsetningen er riktig.

For hånd

Avstanden fra $O$ til $△ A B C$ kalles $h$ . Forklar at vi kan skrive

F_{△ A B C} = \frac{a \cdot b \cdot c}{2 h}

For hånd

Bruk c) og d) til å vise at

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{h^{2}}

Fasit

Vist: $a \cdot b = c \cdot h$ og $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{h^{2}}$

$\vec{A B} \times \vec{A C} = (b c, a c, a b)$ , $F_{△ A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2}}$

Vist: arealsetningen stemmer

Vist: $F_{△ A B C} = \frac{a \cdot b \cdot c}{2 h}$

Vist: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{h^{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Arealet av den rettvinklede trekanten kan regnes ut på to måter: med de to katetene som grunnlinje og høyde, eller med hypotenusen som grunnlinje og $h$ som høyde:

F = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h

Dette gir direkte

a \cdot b = c \cdot h

Fra dette får vi $h = \frac{a \cdot b}{c}$ . Pytagoras’ setning gir $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Vi ser på venstre side av likheten vi skal vise:

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} b^{2}} = \frac{c^{2}}{{(a b)}^{2}}

Høyre side:

\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{{(\frac{a b}{c})}^{2}} = \frac{c^{2}}{{(a b)}^{2}}

Siden begge sider blir $\frac{c^{2}}{{(a b)}^{2}}$ , er

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{h^{2}}

Med $O (0,0,0)$ , $A (a, 0,0)$ , $B (0, b, 0)$ og $C (0,0, c)$ blir

\vec{A B} = (- a, b, 0), \vec{A C} = (- a, 0, c)

Kryssproduktet regnes ut med determinantmetoden:

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - a & b & 0 \\ - a & 0 & c \end{matrix} | = (b c - 0, - (- a c - 0), 0 - (- a b)) = (b c, a c, a b)

Arealet av $△ A B C$ er halve lengden av dette vektorproduktet:

F_{△ A B C} = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2}}

Trekantene $O A C$ , $O B C$ og $O A B$ ligger i hvert sitt koordinatplan og er rettvinklede med katetlengder lik koordinataksene:

F_{△ O A C} = \frac{1}{2} a c, F_{△ O B C} = \frac{1}{2} b c, F_{△ O A B} = \frac{1}{2} a b

Summen av kvadratene blir

F_{△ O A C}^{2} + F_{△ O B C}^{2} + F_{△ O A B}^{2} = \frac{1}{4} a^{2} c^{2} + \frac{1}{4} b^{2} c^{2} + \frac{1}{4} a^{2} b^{2} = \frac{1}{4} (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2})

Fra b) er $F_{△ A B C}^{2} = \frac{1}{4} (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2})$ , altså nøyaktig samme uttrykk. Dermed er

F_{△ A B C}^{2} = F_{△ O A C}^{2} + F_{△ O B C}^{2} + F_{△ O A B}^{2}

Sjekket numerisk (med $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 5$ ) i GeoGebra CAS, se KryssCheck og Diff_c i utklippet under — begge blir $0$ , som bekrefter både kryssproduktet fra b) og arealsetningen.

CAS-sjekk av kryssprodukt og arealsetningen

Tetraederet $O A B C$ har volum $V = \frac{1}{3} \cdot grunnflate \cdot høyde$ , uansett hvilken sideflate vi velger som grunnflate.

Velger vi $△ O A B$ (i $x y$ -planet) som grunnflate, står $C = (0,0, c)$ rett over origo med avstand $c$ til dette planet, så høyden er $c$ :

V = \frac{1}{3} \cdot F_{△ O A B} \cdot c = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a b \cdot c = \frac{a b c}{6}

Velger vi i stedet $△ A B C$ som grunnflate, er høyden per definisjon avstanden $h$ fra $O$ til planet $A B C$ :

V = \frac{1}{3} \cdot F_{△ A B C} \cdot h

Siden dette er samme volum, kan vi sette uttrykkene like:

\frac{1}{3} F_{△ A B C} \cdot h = \frac{a b c}{6}

Løser vi for $F_{△ A B C}$ :

F_{△ A B C} = \frac{a \cdot b \cdot c}{2 h}

Fra c) har vi

F_{△ A B C}^{2} = \frac{1}{4} (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2})

Fra d) har vi $F_{△ A B C} = \frac{a b c}{2 h}$ , altså

F_{△ A B C}^{2} = \frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{4 h^{2}}

Setter vi de to uttrykkene for $F_{△ A B C}^{2}$ like hverandre:

\frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{4 h^{2}} = \frac{1}{4} (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2})

\frac{a^{2} b^{2} c^{2}}{h^{2}} = a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2}

Deler vi begge sider med $a^{2} b^{2} c^{2}$ :

\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}

som er det samme som

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{h^{2}}

Sjekket numerisk (med $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 5$ ) i GeoGebra CAS, se Diff_e i utklippet over — differansen blir tilnærmet $0$ (avrundingsfeil i 15. desimal), som bekrefter identiteten.

Merk: Formelen i e) er en romlig utvidelse av formelen fra a) — nøyaktig samme type sammenheng, bare med tre kateter ( $a$ , $b$ , $c$ ) langs aksene i stedet for to.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2009, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Bevis, Argumentasjon, Geometri

Rettvinklet trekant og tetraeder med arealsetning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rettvinklet trekant og tetraeder med arealsetning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rettvinklet trekant og tetraeder med arealsetning

Rettvinklet trekant og tetraeder med arealsetning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer