Vi har en rettvinklet trekant med kateter $a$ og $b$ og hypotenus $c$. Høyden ned på hypotenusen kalles $h$. Se figuren til høyre.

a)

Forklar at $a \cdot b = c \cdot h$

Bruk Pytagoras’ setning og vis at

$$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{h^2}$$

Vi vil nå studere tetraederet $OABC$. Hjørnet $O$ er plassert i origo, $A(a, 0, 0)$ på $x$-aksen, $B(0, b, 0)$ på $y$-aksen og $C(0, 0, c)$ på $z$-aksen. Se figuren nedenfor.

b)

Finn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ uttrykt ved $a$, $b$ og $c$. Finn arealet av trekanten $ABC$.

En arealsetning som er oppkalt etter Pytagoras, sier at

$$F_{\triangle ABC}^2 = F_{\triangle OAC}^2 + F_{\triangle OBC}^2 + F_{\triangle OAB}^2$$

Her betyr $F_{\triangle ABC}$ arealet av trekanten $ABC$. Tilsvarende gjelder for leddene på høyre side.

c)

Kontroller at arealsetningen er riktig.

d)

Avstanden fra $O$ til $\triangle ABC$ kalles $h$. Forklar at vi kan skrive

$$F_{\triangle ABC} = \frac{a \cdot b \cdot c}{2h}$$

e)

Bruk c) og d) til å vise at

$$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{h^2}$$