Rettvinklet trekant inscribed i sirkel og Pythagoras bevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rettvinklet $△ A C B$ med sidelengdene $B C = a$ , $A C = b$ og $A B = c$ er gitt. Vi tegner en sirkel med sentrum i $B$ og radius $a$ . Linjen gjennom $A$ og $B$ skjærer sirkelen i $E$ og $P$ . Vi setter $∠ B P C = v$ . Se figuren nedenfor.

Rettvinklet trekant med sirkel

Vis at $∠ A C E = v$ , og at $△ A C P \sim △ A C E$ .

Forklar at $A E = c - a$ , og at $A P = c + a$ .

Bruk formlikheten i oppgave a) til å vise at

\frac{c + a}{b} = \frac{b}{c - a}

Bruk resultatet i oppgave c) til å vise at Pytagoras’ setning gjelder.

Fasit

$∠ A C E = v, △ A C P \sim △ A E C$

$A E = c - a, A P = c + a$

$\frac{c + a}{b} = \frac{b}{c - a}$

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Sirkelen har sentrum $B$ og radius $a$ , så $B C = B E = B P = a$ (alle er radier i sirkelen).

Siden $B P = B C = a$ , er $△ B P C$ likebeint, og vinklene ved grunnlinjen $P C$ er like:

∠ B P C = ∠ B C P = v

Legg merke til at $E$ og $P$ er skjæringspunktene mellom linjen $A B$ og sirkelen, og $B$ er sentrum. Da er $E P$ en diameter i sirkelen. Ved periferivinkelsetningen (Thales) er periferivinkelen på en diameter alltid $90 °$ , altså

∠ E C P = 90 °

Siden punktene ligger i rekkefølgen $A, E, B, P$ på linjen, ligger strålen $C B$ mellom strålene $C E$ og $C P$ sett fra $C$ . Dermed er

∠ E C P = ∠ E C B + ∠ B C P \Rightarrow ∠ E C B = 90 ° - v

Videre ligger strålen $C E$ mellom strålene $C A$ og $C B$ (siden $E$ ligger mellom $A$ og $B$ ), og $∠ A C B = 90 °$ (rett vinkel i $△ A C B$ ):

∠ A C B = ∠ A C E + ∠ E C B \Rightarrow ∠ A C E = 90 ° - ∠ E C B = 90 ° - (90 ° - v) = v

Dermed er $∠ A C E = v$ , som skulle vises.

I trekantene $A C P$ og $A E C$ har vi:

Felles vinkel ved $A$ ( $∠ C A P = ∠ C A E$ , samme vinkel siden $E$ og $P$ ligger på samme stråle fra $A$ )
$∠ A P C = ∠ B P C = v$ (samme vinkel, siden $B$ ligger på linjestykket $A P$ ), og dette er vinkelen ved hjørnet $P$ i $△ A C P$
$∠ A C E = v$ (vist over), og dette er vinkelen ved hjørnet $C$ i $△ A E C$

Sammen med den felles vinkelen ved $A$ gir dette (AA) at

△ A C P \sim △ A E C

med hjørnekorrespondanse $A \leftrightarrow A$ , $C \leftrightarrow E$ , $P \leftrightarrow C$ .

Siden $B E = B C = a$ og $E$ ligger mellom $A$ og $B$ på linjestykket $A B$ , er

A E = A B - B E = c - a

Siden $B P = B C = a$ og $P$ ligger på forlengelsen av $A B$ forbi $B$ , er

A P = A B + B P = c + a

Fra formlikheten $△ A C P \sim △ A E C$ i oppgave a) svarer siden $A C$ (i $△ A C P$ ) til $A E$ (i $△ A E C$ ), og siden $A P$ (i $△ A C P$ ) svarer til $A C$ (i $△ A E C$ ). Det gir forholdet

\frac{A C}{A E} = \frac{A P}{A C}

Setter vi inn $A C = b$ , $A E = c - a$ og $A P = c + a$ fra oppgave b), får vi

\frac{b}{c - a} = \frac{c + a}{b}

som er det samme som

\frac{c + a}{b} = \frac{b}{c - a}

Vi kryssmultipliserer likningen fra oppgave c):

b \cdot b = (c + a) (c - a)

b^{2} = c^{2} - a^{2}

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Dette er nettopp Pytagoras’ setning for den rettvinklede trekanten $A C B$ med kateter $a = B C$ , $b = A C$ og hypotenus $c = A B$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2016, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Trigonometri, Bevis, Sirkel

Rettvinklet trekant inscribed i sirkel og Pythagoras bevis

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rettvinklet trekant inscribed i sirkel og Pythagoras bevis

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rettvinklet trekant inscribed i sirkel og Pythagoras bevis

Rettvinklet trekant inscribed i sirkel og Pythagoras bevis

Lov på eksamen

Temaer