Rekursiv formel og programmering

Bestem en rekursiv formel for tallfølgen $1, 2, 6,15,31,56,\dots$

Bruk den rekursive formelen du fant i oppgave a), og lag et program som regner ut summen av de 30 første leddene i tallfølgen.

Husk å legge ved bilde av både koden og resultatet av kjøringen.

Fasit

$a_{n+1}=a_{n}+n^{2}$

67 455

Løsningsforslag

Jeg setter opp tallene i følgen og sjekker differansene mellom hvert ledd (det er alltid et godt tips for å finne mønstre!). Jeg fant ut at differansene mellom tallene var 1, 4, 9, 16, 25, og disse tallene kjenner jeg igjen som kvadrattallene.

Jeg sjekker om jeg finner en god sammenheng for et av leddene

a_{5}=31=15+16=15+4^2=a_{4}+4^{2}

Jeg ser at jeg kan generalisere denne sammenhengen som

\underline{\underline{a_{n+1}=a_{n}+n^{2}}}

Program for å regne ut ledd i rekke

Jeg brukte en for-løkke til å regne meg fram til delsummen til ledd nummer 30 og skrev ut svarene i konsollen.

Summen av de 30 første leddene er 67 455.

Ulike løsninger på denne oppgaven

Det finnes mange ulike løsninger på denne oppgaven – det viktigste er å passe på at ledd nr. 1 faktisk blir 1, ledd nr. 2 blir 2, ledd nr. 3 blir 6 og så videre. Derfor er det lurt å skrive ut alle leddene, og sjekke at de første leddene blir riktige sammelignet med oppgaveteksten. Her er ulike løsningsforslag til samme oppgave.

a = 1
sum = 0
for n in range(1, 31):
   a = a + (n - 1) ** 2  # regner ut nytt ledd
   sum = sum + a         # finner delsummen
   print(f"Ledd {n}: {a}. Delsum {n}: {sum}")

a = 1
sum = 1
for n in range(1, 30):
  a = a + n ** 2
  sum = sum + a
  print(f"Ledd {n + 1}: {a}. Delsum {n + 1}: {sum}")

a = 1
sum = 1
for n in range(2, 31):
   a = (n - 1) ** 2 + a  
   sum = sum + a         
   print(f"Ledd {n}: {a}. Delsum {n}: {sum}")


a = 1
sum = 1
for n in range(1, 31):
  print(f"Ledd {n}: {a}. Delsum {n}: {sum}")
  a = a + n ** 2
  sum = sum + a

Sensorveiledning

Kun formel uten begrunnelse eller argumentasjon gir 1 poeng.

Kandidater som lager et program med den eksplisitte formelen, kan få 1 poeng. Program med en god strategi, men feil svar, kan få 1 poeng. Program med riktig strategi, men med små feil som fører til feil svar, kan få 2 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: programmering, rekursiv sammenheng, rekker
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker