Radianer og eksakte trigonometriske verdier

Hva er definisjonen av det absolutte vinkelmålet (radianen) til en vinkel? Hvor mange radianer er $80 °$ ?

Finn de eksakte verdiene til $\cos v$ og $\tan v$ når $\sin v = - \frac{1}{4}$ og $v \in [π, \frac{3 π}{2}]$ .

Fasit

$\frac{4}{9} π$ radianer

$\cos v = - \frac{\sqrt{15}}{4}$ , $\tan v = \frac{1}{\sqrt{15}}$

Løsningsforslag

Vi tar utgangspunkt i en sirkel med radius $r = 1$ og legger toppunktet til en vinkel $θ$ i sentrum av sirkelen. Vinkelbeina vil skjære sirkelperiferien og avgrense en sirkelbue $b$ .

Det absolutte vinkelmålet er forholdet mellom sirkelbuen $b$ og omkretsen til hele sirkelen.

θ = \frac{b}{2 π r} = \frac{b}{2 π}

Vi kan bruke forholdet mellom et vinkelmål og en hel omdreining for å gjøre om fra grader til radianer. La $θ$ være det absolutte vinkelmålet til $80^{\circ}$ , da er

\frac{θ}{2 π} = \frac{80^{\circ}}{360^{\circ}} ⟺ θ = \frac{160}{360} π ⟺ θ = \frac{4}{9} π

$80^{\circ}$ er $\frac{4}{9} π$ radianer.

\sin v = - \frac{1}{4} = \frac{motstående katet}{hypotenus}

Vi vet at hypotenusen i en enhetssirkel er 1, derfor har vi $mk = - \frac{1}{4}$ . Lengden av den siste kateten i en slik trekant må være

hosliggende katet = \sqrt{h^{2} - {mk}^{2}} = \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{4})}^{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}}

Vi ser at vinkelen vår må befinne seg i tredje kvadrant siden $v \in [π, \frac{3 π}{2}]$ . Det betyr at $\cos v = - \sqrt{\frac{15}{16}}$ .

$\tan v$ er gitt ved

\tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{- \frac{1}{4}}{- \sqrt{\frac{15}{16}}} = \frac{1}{\sqrt{15}}

\cos v = - \sqrt{\frac{15}{16}} og \tan v = \frac{1}{\sqrt{15}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for definisjonen og 1 poeng for å finne ut hvor mange radianer det er.

1 poeng for å finne cosinusverdien og 1 poeng for å finne tangensverdien.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2024, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Enhetssirkel
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Radianer og eksakte trigonometriske verdier

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Radianer og eksakte trigonometriske verdier

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Radianer og eksakte trigonometriske verdier

Radianer og eksakte trigonometriske verdier

Lov på eksamen

Temaer