Radianer og eksakte trigonometriske verdier

Del 1 · oppgave 4
Mine oppgaver
Verktøy

Sync på tvers av enheter

Radianer og eksakte trigonometriske verdier

Hva er definisjonen av det absolutte vinkelmålet (radianen) til en vinkel? Hvor mange radianer er 80°80\degree?

Finn de eksakte verdiene til cos⁡v\cos v og tan⁡v\tan v når sin⁡v=−14\sin v = -\dfrac{1}{4} og v∈[π,3π2]v \in \left[\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right].

Fasit

49π\dfrac{4}{9}\pi radianer

cos⁡v=−154\cos v = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}, tan⁡v=115\tan v = \dfrac{1}{\sqrt{15}}

Løsningsforslag

Vi tar utgangspunkt i en sirkel med radius r=1r=1 og legger toppunktet til en vinkel θ\theta i sentrum av sirkelen. Vinkelbeina vil skjære sirkelperiferien og avgrense en sirkelbue bb.

Det absolutte vinkelmålet er forholdet mellom sirkelbuen bb og omkretsen til hele sirkelen.

θ=b2πr=b2π\theta = \frac{b}{2\pi r}=\frac{b}{2\pi}

Vi kan bruke forholdet mellom et vinkelmål og en hel omdreining for å gjøre om fra grader til radianer. La θ\theta være det absolutte vinkelmålet til 80∘80^\circ, da er

θ2π=80∘360∘  ⟺  θ=160360π  ⟺  θ=49π\frac{\theta}{2\pi} =\frac{80^\circ}{360^\circ} \iff \theta=\frac{160}{360}\pi \iff \theta=\frac{4}{9}\pi

80∘80^\circ er 49π\frac{4}{9}\pi radianer.

sin⁡v=−14=motsta˚ende katethypotenus\sin v = -\frac{1}{4}=\frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}

Vi vet at hypotenusen i en enhetssirkel er 1, derfor har vi mk=−14\text{mk}=-\frac{1}{4}. Lengden av den siste kateten i en slik trekant må være

hosliggende katet=h2−mk2=12−(−14)2=1−116=1516\text{hosliggende katet}=\sqrt{ h^{2}-\text{mk}^{2} }=\sqrt{ 1^{2}- \left( -\frac{1}{4} \right) ^{2} }=\sqrt{ 1-\frac{1}{16} }=\sqrt{ \frac{15}{16} }

Vi ser at vinkelen vår må befinne seg i tredje kvadrant siden v∈[π,3π2]v \in \left[ \pi, \frac{3\pi}{2} \right]. Det betyr at cos⁡v=−1516\cos v=-\sqrt{ \frac{15}{16} }.

tan⁡v\tan v er gitt ved

tan⁡v=sin⁡vcos⁡v=−14−1516=115\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}=\frac{-\frac{1}{4}}{-\sqrt{ \frac{15}{16} }}=\frac{1}{\sqrt{ 15 }} cos⁡v=−1516ogtan⁡v=115‾‾\underline{\underline{\cos v = -\sqrt{ \frac{15}{16} } \quad \text{og} \quad \tan v=\frac{1}{\sqrt{ 15 }}}}
Sensorveiledning

1 poeng for definisjonen og 1 poeng for å finne ut hvor mange radianer det er.

1 poeng for å finne cosinusverdien og 1 poeng for å finne tangensverdien.

Oppgavedata
Kategori
2
Vanskegrad
2
Poeng
4
Temaer
trigonometri, enhetssirkel
Kompetansemål
  • Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer