Vi plasserer halvkulen med snittflaten som en sirkulær disk i planet $z=0$, med sentrum i origo. Halvkulen har likningen $x^2+y^2+z^2=r^2$ for $z\ge 0$.

Oppsett av pyramiden

Grunnflaten er et rektangel med sider $2x$ og $2y$ innskrevet i sirkelen $x^2+y^2=r^2$. Pyramidens topp ligger på halvkulen rett over sentrum, i punktet $(0,0,h)$.

Toppen på halvkulen gir høyden $h=r$ (fast, siden $x=y=0$ gir $z=r$).

Volumet av pyramiden er:

Maksimering med GeoGebra CAS

Vi setter $G=4xy$ der $y=\sqrt{r^2-x^2}$ (fra sirkelbetingelsen), og definerer volumfunksjonen:

Vi deriverer og setter den deriverte lik null med CAS:

CAS gir $x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot r={\displaystyle \frac{r}{\sqrt{2}}}$ (tar positiv verdi). Da er $y=\sqrt{r^2-\frac{r^2}{2}}={\displaystyle \frac{r}{\sqrt{2}}}$, det vil si $x=y$.

Grunnflaten er et kvadrat med side $2x=2\cdot {\displaystyle \frac{r}{\sqrt{2}}}=r\sqrt{2}$.

Største volum

CAS bekrefter at maksimalt volum er:

$\underline{\underline{V_{\max }={\displaystyle \frac{2r^3}{3}}}}$