Pyramide ABCP med parametrisk toppunkt og volum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hjørnene i en pyramide $A B C P$ er $A (0,0,0)$ , $B (1,0, - 1)$ , $C (1,1,0)$ og $P (t, 2 t + 1, t^{2} + 2)$ , $t \in ℝ$ .

Kalkulator

Bestem et uttrykk for volumet $V (t)$ av pyramiden.

Kalkulator

Bestem koordinatene til $P$ slik at $V (t) = \frac{7}{2}$ .

Kalkulator

Bestem koordinatene til $P$ slik at volumet $V (t)$ blir minst mulig.

Fasit

$V (t) = \frac{t^{2} - t + 1}{6}$

$P (5,11,27)$ eller $P (- 4, - 7,18)$

$P (\frac{1}{2}, 2, \frac{9}{4})$ , med $V_{\min} = \frac{1}{8}$

LøsningsforslagKI-generert

Volumet av en pyramide (tetraeder) med hjørner $A$ , $B$ , $C$ , $P$ er gitt ved

V = \frac{1}{6} | (\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A P} |

Vi finner kantvektorene fra $A$ :

\vec{A B} = (1,0, - 1), \vec{A C} = (1,1,0), \vec{A P} = (t, 2 t + 1, t^{2} + 2)

Volumet kan skrives som en determinant (spatprodukt) av disse tre vektorene:

V (t) = \frac{1}{6} | \det (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ t & 2 t + 1 & t^{2} + 2 \end{matrix}) |

I GeoGebra CAS beregnes determinanten (se skjermbilde, linje 1–2):

CAS-utregning

\det (\dots) = t^{2} - t + 1

Uttrykket $t^{2} - t + 1$ har diskriminant $1 - 4 = - 3 < 0$ og positiv ledende koeffisient, så det er alltid positivt. Absoluttverditegnet kan derfor droppes, og

V (t) = \frac{t^{2} - t + 1}{6}

Vi løser likningen $V (t) = \frac{7}{2}$ , altså $\frac{t^{2} - t + 1}{6} = \frac{7}{2}$ . I CAS (linje 3) fås

t = - 4 eller t = 5

Setter vi inn de to verdiene i $P (t, 2 t + 1, t^{2} + 2)$ :

For $t = 5$ : $P (5, 2 \cdot 5 + 1, 5^{2} + 2) = P (5, 11, 27)$

For $t = - 4$ : $P (- 4, 2 \cdot (- 4) + 1, {(- 4)}^{2} + 2) = P (- 4, - 7, 18)$

Det finnes altså to punkter som gir $V = \frac{7}{2}$ :

P (5,11,27) eller P (- 4, - 7,18)

Vi skal minimere $V (t) = \frac{t^{2} - t + 1}{6}$ . Deriverer med hensyn på $t$ (CAS linje 4):

V^{'} (t) = \frac{2 t - 1}{6}

Setter $V^{'} (t) = 0$ (CAS linje 5):

2 t - 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}

Siden $V (t)$ er et andregradsuttrykk med positiv ledende koeffisient (oppadåpnet parabel i $t$ ), gir dette et minimumspunkt. Minste volum blir (CAS linje 6):

V (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}

Koordinatene til $P$ når $t = \frac{1}{2}$ :

P (\frac{1}{2}, 2 \cdot \frac{1}{2} + 1, {(\frac{1}{2})}^{2} + 2) = P (\frac{1}{2}, 2, \frac{9}{4})

P (\frac{1}{2}, 2, \frac{9}{4}), V_{\min} = \frac{1}{8} [volumenhet]

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full uttelling må kandidaten finne to korrekte løsninger.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2015, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Optimering, Volum

Pyramide ABCP med parametrisk toppunkt og volum

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Pyramide ABCP med parametrisk toppunkt og volum

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Pyramide ABCP med parametrisk toppunkt og volum

Pyramide ABCP med parametrisk toppunkt og volum

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer