Plan gjennom tre punkter og vinkel med koordinatakser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et plan $α$ inneholder punktene $A (1, 1, 3)$ , $B (1, 2, 1)$ og $C (- 1, 3, 2)$ .

Bestem en likning for planet $α$ .

Bestem skjæringspunktene mellom planet $α$ og hver av de tre koordinataksene.

Avgjør hvilken av de tre koordinataksene som danner minst vinkel med planet $α$ .

Fasit

$3 x + 4 y + 2 z = 13$

$(\frac{13}{3}, 0, 0)$ , $(0, \frac{13}{4}, 0)$ , $(0, 0, \frac{13}{2})$

$z -aksen$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner to vektorer i planet:

\vec{A B} = B - A = (0, 1, - 2)

\vec{A C} = C - A = (- 2, 2, - 1)

Normalvektoren til planet er kryssproduktet av disse:

\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & - 2 \\ - 2 & 2 & - 1 \end{matrix} |

\vec{n} = (1 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 2, - (0 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot (- 2)), 0 \cdot 2 - 1 \cdot (- 2)) = (3, 4, 2)

Planlikningen får formen $3 x + 4 y + 2 z = d$ . Setter inn punktet $A (1, 1, 3)$ :

3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 3 + 4 + 6 = 13

α : 3 x + 4 y + 2 z = 13

Skjæring med $x$ -aksen: setter $y = z = 0$ :

3 x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3}

Punkt: $(\frac{13}{3}, 0, 0)$

Skjæring med $y$ -aksen: setter $x = z = 0$ :

4 y = 13 \Rightarrow y = \frac{13}{4}

Punkt: $(0, \frac{13}{4}, 0)$

Skjæring med $z$ -aksen: setter $x = y = 0$ :

2 z = 13 \Rightarrow z = \frac{13}{2}

Punkt: $(0, 0, \frac{13}{2})$

Vinkelen $θ$ mellom en akse med retningsvektor $\vec{e}$ og planet med normalvektor $\vec{n}$ er gitt ved

\sin θ = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{e} |}{| \vec{n} | \cdot | \vec{e} |}

Vi har $\vec{n} = (3, 4, 2)$ og $| \vec{n} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{29}$ .

For $x$ -aksen, ${\vec{e}}_{x} = (1,0,0)$ :

\sin θ_{x} = \frac{3}{\sqrt{29}} \approx 0,557 \Rightarrow θ_{x} \approx 33,9 °

For $y$ -aksen, ${\vec{e}}_{y} = (0,1,0)$ :

\sin θ_{y} = \frac{4}{\sqrt{29}} \approx 0,743 \Rightarrow θ_{y} \approx 47,9 °

For $z$ -aksen, ${\vec{e}}_{z} = (0,0,1)$ :

\sin θ_{z} = \frac{2}{\sqrt{29}} \approx 0,371 \Rightarrow θ_{z} \approx 21,8 °

Minst $\sin θ$ gir minst vinkel. Siden $θ_{z} < θ_{x} < θ_{y}$ , er det

z -aksen som danner minst vinkel med planet α

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2021, del 1, oppgave 9
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Plan

Innstillinger