Modellering av bagettsalg

deloppgave: d poeng: 2

Modellering av bagettsalg

Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt.

Solgte bagetter	100	130	160	175	190	220	235
Overskudd (kroner)	1450	2300	3050	3365	3720	4140	4175

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $O$ gitt ved

O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98

er en god modell for hvor stort overskuddet en uke blir når kantinen produserer og selger $x$ bagetter i løpet av uken.

Hvor mange bagetter må kantinen produsere og selge i løpet av en uke, ifølge modellen $O$ , for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir dette overskuddet?

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(100, O(100))$ og $(200, O(200))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Bestem den momentane vekstfarten når $x = 235$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Fasit

Alle datapunkter ligger nær kurven — $O(x)$ er en god modell.

Maksimalt overskudd $\underline{\underline{\approx 4459 \, \mathrm{kr}}}$ ved $\underline{\underline{x \approx 284}}$ bagetter.

Stigningstallet er $\underline{\underline{24{,}04 \, \mathrm{kr/bagett}}}$ .

Momentan vekstfart: $\underline{\underline{O'(235) \approx 8{,}74 \, \mathrm{kr/bagett}}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi plotter datapunktene fra tabellen og grafen til $O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98$ i GeoGebra:

Datapunkter og O(x) plottet i GeoGebra

Vi ser at alle de røde datapunktene ligger svært nær den blå kurven. Vi kan også beregne modellverdiene og sammenligne:

$x$	$O(x)$ (modell)	Faktisk overskudd	Avvik
100	$1\,427$ kr	$1\,450$ kr	$23$ kr
130	$2\,348$ kr	$2\,300$ kr	$48$ kr
160	$3\,092$ kr	$3\,050$ kr	$42$ kr
175	$3\,405$ kr	$3\,365$ kr	$40$ kr
190	$3\,706$ kr	$3\,720$ kr	$14$ kr
220	$4\,102$ kr	$4\,140$ kr	$38$ kr
235	$4\,178$ kr	$4\,175$ kr	$3$ kr

Avvikene er små (under $50$ kr) sammenlignet med overskuddet. $O(x)$ er en god modell.

Vi finner toppunktet til $O(x)$ ved å sette den deriverte lik null.

O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04 = 0

Vi løser dette i GeoGebra CAS:

CAS: derivert og optimum

x = \frac{51{,}04}{0{,}18} \approx 283{,}56

Det vil si at overskuddet er størst ved $x \approx 284$ bagetter. Maksimalt overskudd:

O(283{,}56) \approx 4459{,}36 \, \mathrm{kr}

Kantinen bør produsere og selge ca. $\underline{\underline{284}}$ bagetter per uke. Da blir overskuddet $\underline{\underline{\approx 4459 \, \mathrm{kr}}}$ .

Vi beregner stigningstallet til sekanten gjennom $(100,\, O(100))$ og $(200,\, O(200))$ :

O(100) = -0{,}09 \cdot 100^2 + 51{,}04 \cdot 100 - 2776{,}98 = 1\,427{,}02 \, \mathrm{kr}

O(200) = -0{,}09 \cdot 200^2 + 51{,}04 \cdot 200 - 2776{,}98 = 3\,831{,}02 \, \mathrm{kr}

\text{Stigningstall} = \frac{O(200) - O(100)}{200 - 100} = \frac{3831{,}02 - 1427{,}02}{100} = \frac{2404}{100} = 24{,}04

Stigningstallet er $\underline{\underline{24{,}04 \, \mathrm{kr/bagett}}}$ .

Praktisk tolkning: Når antall solgte bagetter øker fra 100 til 200, øker overskuddet i gjennomsnitt med $24{,}04$ kr per ekstra bagett.

Den momentane vekstfarten er verdien av den deriverte i punktet $x = 235$ :

O'(x) = -0{,}18x + 51{,}04

O'(235) = -0{,}18 \cdot 235 + 51{,}04 = -42{,}30 + 51{,}04 = 8{,}74

Den momentane vekstfarten er $\underline{\underline{O'(235) \approx 8{,}74 \, \mathrm{kr/bagett}}}$ .

Praktisk tolkning: Når kantinen allerede selger 235 bagetter per uke, vil én ekstra solgt bagett øke overskuddet med ca. $8{,}74$ kr.

Sensorveiledning

2,7 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

En kandidat som bruker regresjon, men ikke kommer fram til en andregradsfunksjon, får ingen uttelling.

2,7 poeng

For å få full uttelling må kandidaten vise tydelig hvordan svarene framkommer.

2,7 poeng

For å få full uttelling må kandidaten både finne riktig stigningstall, og gi en praktisk tolkning av stigningstallet.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Poeng: 8
Temaer: regresjon, modellering, derivasjon, optimering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane