Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26

$Graf til f(x)=100\cdot 0{,}8^x med rektangel ABCD$

Figuren ovenfor viser grafen til en funksjon $f$ gitt ved $f (x) = 100 \cdot {0,8}^{x}$ og et rektangel $A B C D$ .

Punktet $A$ har koordinatene $A (a, f (a))$ der $a \in [0, 5 ⟩$ . Punktene $B$ og $C$ har førstekoordinat $5$ , og punktene $C$ og $D$ har andrekoordinat $200$ .

For hånd

Uttrykk lengden av linjestykkene $A B$ og $A D$ ved $a$ .

Oppsett for hånd

Bruk derivasjon til å bestemme det største arealet rektangelet $A B C D$ kan få.

Fasit

$| A B | = 5 - a$ , $| A D | = 200 - 100 \cdot {0,8}^{a}$

$A_{\max} \approx 500,98$ (ved $a \approx 0,17$ )

LøsningsforslagKI-generert

Punkt $A$ har koordinatene $(a, f (a))$ , og $B$ har førstekoordinat $5$ og samme andrekoordinat som $A$ , så

| A B | = 5 - a

Punkt $D$ har andrekoordinat $200$ og samme førstekoordinat som $A$ , så

| A D | = 200 - f (a) = 200 - 100 \cdot {0,8}^{a}

Vi setter opp arealfunksjonen

A (a) = | A B | \cdot | A D | = (5 - a) (200 - 100 \cdot {0,8}^{a}), a \in ⟨ 0, 5 ⟩

Vi bruker CAS til å finne det stasjonære punktet og sammenligner med endepunktene (se linje 4–8 i GeoGebra-utklippet).

GeoGebra CAS – arealfunksjon og maksimum

Fra linje 6 gir $A^{'} (a) = 0$ løsningen $a \approx 0,1707$ .

Vi kontrollerer verdiene:

$a$	$A (a)$
$0,1707$	$\approx 500,98$
$0$	$500$
$5$	$0$

Det stasjonære punktet gir det største arealet.

Det største arealet rektangelet $A B C D$ kan få, er $A \approx 500,98$ , oppnådd når $a \approx 0,17$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Kandidaten må ha begge uttrykkene riktig for å få uttelling.

Kandidater som finner størst areal uten å derivere kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2026, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon, Eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer

Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26

Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer