Likesidet trekant kvadrat og det gylne snitt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En likesidet $△ A B C$ har side lik $6 c m$ . Høyden fra $C$ treffer $A B$ i $H$ . $□ B E D C$ er et kvadrat. En sirkelbue med sentrum i $C$ og radius $C E$ treffer forlengelsen av $A B$ i punktet $F$ . Se figuren nedenfor.

Likesidet trekant med kvadrat og sirkelbue

Bestem lengdene av linjestykkene $C H$ , $C F$ og $H F$ .

Vis at forholdet $\frac{A F}{A B}$ er lik «det gylne snitt» $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Fasit

$C H = 3 \sqrt{3} cm, C F = 6 \sqrt{2} cm, H F = 3 \sqrt{5} cm$

$\frac{A F}{A B} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = φ$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten $A B C$ er likesidet med side $6 cm$ . Høyden $C H$ står normalt på $A B$ og treffer $A B$ i midtpunktet, siden trekanten er likesidet. Dermed er

A H = H B = 3 cm

I den rettvinklede trekanten $C H B$ er $C B = 6$ og $H B = 3$ , så

C H = \sqrt{C B^{2} - H B^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} cm

$□ B E D C$ er et kvadrat med side $C B = 6 cm$ (siden $C B$ er en side i kvadratet). Linjestykket $C E$ er da en diagonal i kvadratet (i rekkefølgen $B, E, D, C$ ligger $C$ og $E$ på hver sin side av kvadratet, altså i motstående hjørner). Diagonalen i et kvadrat med side $s$ er $s \sqrt{2}$ , så

C E = 6 \sqrt{2} cm

Sirkelbuen med sentrum $C$ og radius $C E$ treffer forlengelsen av $A B$ i $F$ , altså er

C F = C E = 6 \sqrt{2} cm

Siden $C H ⟂ A B$ og $F$ ligger på linjen $A B$ , er trekanten $C H F$ rettvinklet i $H$ . Da er

H F = \sqrt{C F^{2} - C H^{2}} = \sqrt{{(6 \sqrt{2})}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{72 - 27} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} cm

Punktene ligger i rekkefølgen $A, H, B, F$ på linjen. Da er

A F = A H + H F = 3 + 3 \sqrt{5} = 3 (1 + \sqrt{5}) cm

Siden $A B = 6 cm$ , får vi

\frac{A F}{A B} = \frac{3 (1 + \sqrt{5})}{6} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = φ

som er det gylne snitt.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2016, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Bevis, Trigonometri

Likesidet trekant kvadrat og det gylne snitt

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Likesidet trekant kvadrat og det gylne snitt

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Likesidet trekant kvadrat og det gylne snitt

Likesidet trekant kvadrat og det gylne snitt

Lov på eksamen

Temaer