Kuleflate som tangerer to plan

To plan $α$ og $β$ er gitt ved

\begin{matrix} α & : - 2 x + 2 y - z = 21 \\ β & : - 7 x + 4 y - 4 z = 56 \end{matrix}

En kuleflate tangerer $α$ i punktet $P (- 3, 7, - 1)$ og $β$ i punktet $Q (- 4, 5, - 2)$ .

Bestem en likning for kuleflata.

Fasit

${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 81$

LøsningsforslagKI-generert

Sentrum $S$ i kuleflata må ligge på normallinja til hvert plan i tangeringspunktet, siden en kuleflate tangerer et plan langs den linja som går gjennom tangeringspunktet med retning lik planets normalvektor.

Normalvektorene til de to planene er

{\vec{n}}_{α} = (- 2, 2, - 1), {\vec{n}}_{β} = (- 7, 4, - 4)

Normallinje gjennom $P (- 3,7, - 1)$ (i retning ${\vec{n}}_{α}$ ):

(x, y, z) = (- 3,7, - 1) + t (- 2,2, - 1)

Normallinje gjennom $Q (- 4,5, - 2)$ (i retning ${\vec{n}}_{β}$ ):

(x, y, z) = (- 4,5, - 2) + s (- 7,4, - 4)

Sentrum $S$ er skjæringspunktet mellom disse to linjene. Vi setter komponentene like:

\begin{matrix} - 3 - 2 t & = - 4 - 7 s \\ 7 + 2 t & = 5 + 4 s \\ - 1 - t & = - 2 - 4 s \end{matrix}

Fra likning 2: $t = 2 s - 1$ . Setter dette inn i likning 3:

- 1 - (2 s - 1) = - 2 - 4 s \Rightarrow - 2 s = - 2 - 4 s \Rightarrow s = - 1

Dette gir $t = 2 (- 1) - 1 = - 3$ .

Kontroll i likning 1: $- 3 - 2 (- 3) = - 3 + 6 = 3$ og $- 4 - 7 (- 1) = - 4 + 7 = 3$ . Stemmer.

Setter $t = - 3$ inn i første linje:

S = (- 3 - 2 (- 3), 7 + 2 (- 3), - 1 - (- 3)) = (3, 1, 2)

Radien er avstanden fra $S$ til tangeringspunktet $P$ :

r = \sqrt{{(3 - (- 3))}^{2} + {(1 - 7)}^{2} + {(2 - (- 1))}^{2}} = \sqrt{6^{2} + {(- 6)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{81} = 9

Som en kontroll regner vi også avstanden fra $S$ til $Q$ :

\sqrt{{(3 - (- 4))}^{2} + {(1 - 5)}^{2} + {(2 - (- 2))}^{2}} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9

Begge avstandene er $9$ , som de skal være siden kuleflata tangerer begge planene.

Likninga for kuleflata blir dermed

{(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 81

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2020, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Plan, Kule, Romgeometri

Kuleflate som tangerer to plan

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kuleflate som tangerer to plan

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kuleflate som tangerer to plan

Kuleflate som tangerer to plan

Lov på eksamen

Temaer