Kuleflate og plan R2 V18

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kuleflate er gitt ved

x^{2} - 6 x + y^{2} + 4 y + z^{2} - 8 z - 20 = 0

Vis at sentrum i kulen er $S (3, - 2, 4)$ . Bestem radien til kuleflaten.

Et plan er gitt ved

6 x - 3 y + 2 z - 4 = 0

Bestem avstanden fra kulens sentrum $S$ til planet.

Skjæringen mellom kuleflaten og planet er en sirkel.

Bestem arealet av sirkelen.

Fasit

$S (3, - 2,4), r = 7$

$d = 4$

$A = 33 π$

LøsningsforslagKI-generert

Vi kvadratkompletterer likningen for kuleflaten:

x^{2} - 6 x + y^{2} + 4 y + z^{2} - 8 z - 20 = 0

{(x - 3)}^{2} - 9 + {(y + 2)}^{2} - 4 + {(z - 4)}^{2} - 16 - 20 = 0

{(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 9 + 4 + 16 + 20 = 49

Dette er likningen for en kuleflate med sentrum $S (3, - 2, 4)$ og radius $r = \sqrt{49} = 7$ .

$S (3, - 2,4), r = 7$

Avstanden fra et punkt $S (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ til et plan $a x + b y + c z + d = 0$ er gitt ved

d = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

Med planet $6 x - 3 y + 2 z - 4 = 0$ og $S (3, - 2,4)$ :

d = \frac{| 6 \cdot 3 - 3 \cdot (- 2) + 2 \cdot 4 - 4 |}{\sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{| 18 + 6 + 8 - 4 |}{\sqrt{36 + 9 + 4}} = \frac{28}{\sqrt{49}} = \frac{28}{7} = 4

$d = 4$

Når et plan skjærer en kuleflate, danner skjæringen en sirkel. Radien $ρ$ til denne sirkelen, kulens radius $r$ og avstanden $d$ fra sentrum til planet henger sammen ved Pytagoras’ setning:

ρ^{2} = r^{2} - d^{2}

ρ^{2} = 7^{2} - 4^{2} = 49 - 16 = 33

Arealet av sirkelen blir dermed

A = π ρ^{2} = 33 π

$A = 33 π$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2018, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kule, Plan, Romgeometri

Kuleflate og plan R2 V18

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kuleflate og plan R2 V18

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kuleflate og plan R2 V18

Kuleflate og plan R2 V18

Lov på eksamen

Temaer