Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har punktene $A (- 1, - 1, 2)$ , $B (3, 4, - 1)$ , $C (5, 3, 1)$ og $D (5, 6, 4)$ .

Planet $α$ går gjennom $A$ , $B$ og $C$ .
Linja $ℓ$ går gjennom $A$ og $D$ .

En kuleflate har radius 8 og sentrum $S$ , som ligger på $ℓ$ . Kuleflata tangerer $α$ .

Bestem de mulige koordinatene til $S$ .

Fasit

$S = (11, 13, 6) eller S = (- 13, - 15, - 2)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først en normalvektor $\vec{n}$ til planet $α$ ved å bruke kryssproduktet av to vektorer i planet.

\vec{A B} = B - A = (4, 5, - 3), \vec{A C} = C - A = (6, 4, - 1)

\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = (5 \cdot (- 1) - (- 3) \cdot 4, (- 3) \cdot 6 - 4 \cdot (- 1), 4 \cdot 4 - 5 \cdot 6) = (7, - 14, - 14)

Siden $S$ ligger på linja $ℓ$ gjennom $A$ og $D$ , kan vi skrive $S$ som et punkt på linja med parameteren $t$ :

\vec{A D} = D - A = (6, 7, 2)

S (t) = A + t \cdot \vec{A D} = (- 1 + 6 t, - 1 + 7 t, 2 + 2 t)

Kuleflata tangerer planet $α$ når avstanden fra sentrum $S$ til $α$ er lik radien $8$ . Avstanden fra et punkt $S$ til et plan med normalvektor $\vec{n} = (7, - 14, - 14)$ gjennom $A$ er gitt ved

d (t) = \frac{| \vec{n} \cdot (S (t) - A) |}{| \vec{n} |}

Vi setter opp og løser likningen $d (t) = 8$ i GeoGebra CAS.

CAS-utregning

Fra utklippet ser vi at $| \vec{n} | = \sqrt{7^{2} + {(- 14)}^{2} + {(- 14)}^{2}} = 21$ , at $\vec{n} \cdot (S (t) - A) = - 84 t$ , og at likningen $d (t) = 8$ gir løsningene $t = - 2$ og $t = 2$ .

Vi setter inn de to verdiene av $t$ i uttrykket for $S (t)$ :

t = 2 : S_{1} = (- 1 + 12, - 1 + 14, 2 + 4) = (11, 13, 6)

t = - 2 : S_{2} = (- 1 - 12, - 1 - 14, 2 - 4) = (- 13, - 15, - 2)

Sentrum $S$ i kuleflata kan altså være enten $(11, 13, 6)$ eller $(- 13, - 15, - 2)$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2020, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Vektorer, Plan, Kule, Romgeometri

Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan

Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer