Kulen har radius $R=3$, og grunnflaten i kjeglen har radius $r=2$. Siden $S$, sentrum av grunnflaten og et punkt på kanten av grunnflaten danner en rettvinklet trekant med hypotenus $R$, gir Pytagoras’ setning

Høyden i kjeglen er da

Kjeglen er $\underline{\underline{h=3+\sqrt{5}\approx \mathrm{5,24}}}$ høy.

Vi setter $r=2$ og $h=3+\sqrt{5}$ inn i volumformelen for en kjegle:

Volumet av kjeglen er $\underline{\underline{V\approx \mathrm{21,93}}}$.

Nå setter vi $r=x$. Samme resonnement med Pytagoras’ setning som i a) gir

og høyden i kjeglen blir

Setter vi dette inn i volumformelen for kjeglen, $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$, med $r=x$, får vi

som er uttrykket vi skulle vise. $■$

Vi skal finne det største volumet til $f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi x^2(3+\sqrt{9-x^2})$ for $x\in ⟨0,3⟩$ (radius $x$ kan ikke bli $0$ eller $3$, for da forsvinner kjeglen). Vi bruker CAS til å derivere $f$ og løse $f^{\prime }(x)=0$.

CAS gir de kritiske punktene $x=-2\sqrt{2}$, $x=0$ og $x=2\sqrt{2}$. Bare $x=2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}$ ligger i det gyldige intervallet $⟨0,3⟩$. Siden $f(0)=0$ og $f(3)=3\pi \approx \mathrm{28,27}$, mens $f(2\sqrt{2})={\displaystyle \frac{32\pi }{3}}\approx \mathrm{33,51}$ er størst av disse, gir $x=2\sqrt{2}$ det største volumet.

Da er radius i grunnflaten $r=x=2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}$. Høyden finner vi ved å sette $x=2\sqrt{2}$ inn i $y=\sqrt{9-x^2}$:

Det største volumet er

Radius må være $\underline{\underline{r=2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}}}$ og høyden $\underline{\underline{h=4}}$ for at volumet av den innskrevne kjeglen skal bli størst mulig, og det største volumet er $\underline{\underline{V={\displaystyle \frac{32\pi }{3}}\approx \mathrm{33,51}}}$.