Integraler S2 v25

Regn ut integralene

\int_{0}^{1} (2 e^{x} + 2 x^{2}) d x

\int \frac{2 x - 1}{x^{2} - x - 6} d x

Fasit

$2 e - \frac{4}{3}$

$\ln | x^{2} - x - 6 | + C$

Løsningsforslag

\int_{0}^{1} (2 e^{x} + 2 x^{2}) d x = {[2 e^{x} + \frac{2}{3} x^{3}]}_{0}^{1} = (2 e^{1} + \frac{2}{3} 1^{3}) - (2 e^{0} + \frac{2}{3} 0^{3}) = 2 e + \frac{2}{3} - 2 = 2 e - \frac{4}{3}

Vi ser at den deriverte av uttrykket i nevneren er det samme som telleren, og det er derfor lurt å forsøke variabelskiftet $u = x^{2} - x - 6$ .

u = x^{2} - x - 6 ⟹ \frac{d u}{d x} = 2 x - 1 ⟺ \frac{d u}{2 x - 1} = d x

Vi substituerer inn i det opprinnelige uttrykket

\int \frac{2 x - 1}{x^{2} - x - 6} d x = \int \frac{2 x - 1}{u} \frac{d u}{2 x - 1} = \int \frac{1}{u} d u = \ln | u | + C = \ln | x^{2} - x - 6 | + C

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å finne riktig verdi.

Riktig strategi, men feil i utregningen kan gi 1 poeng. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det kan tas med i helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2025, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: S2, R2
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

Integraler S2 v25

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Integraler S2 v25

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Lov på eksamen

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Integraler S2 v25

Integraler S2 v25

Lov på eksamen

Lov på eksamen

Temaer