Integral med delvis integrasjon og trigonometri

Regn ut integralet $\int x^{2} \cdot \ln x d x$

Bestem $x$ når $\int_{0}^{x} \sin (π t + \frac{π}{4}) d t = 0$ og $x \in ⟨ 0, π ⟩$ .

Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b).

Fasit

$\frac{1}{3} x^{3} (\ln x - \frac{1}{3}) + C$

$x = \frac{3}{2}$ og $x = 2$

Like mye positivt og negativt areal mellom 0 og $x$

Løsningsforslag

Siden vi skal regne ut integralet til produktet av to ulike funksjoner vil jeg forsøke delvis integrasjon. Jeg benytter DI-metoden, og velger at $x^{2}$ er den faktoren som skal integreres, og $\ln x$ er faktoren som skal deriveres.

	D	I
+	$\ln x$	$x^{2}$
-	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{3} x^{3}$

Vi kan altså sette opp

\begin{matrix} \int x^{2} \ln x d x & = \ln x \cdot \frac{1}{3} x^{3} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3} x^{3} d x \\ = \frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^{2} d x \\ = \frac{1}{3} x^{3} \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C \\ = \frac{1}{3} x^{3} (\ln x - \frac{1}{3}) + C \end{matrix}

Vi løser først det tilhørende ubestemte integralet ved hjelp av variabelskiftet $u = π t + \frac{π}{4}$ . Da er

\frac{d u}{d t} = π ⟺ d t = \frac{d u}{π}

Vi gjennomfører variabelskiftet

\int \sin (π t + \frac{π}{4}) d t = \int \sin u \frac{d u}{π} = - \frac{1}{π} \cos (u) + C = - \frac{1}{π} \cos (π t + \frac{π}{4}) + C

Vi setter opp det bestemte integralet og setter lik 0.

\begin{matrix} - \frac{1}{π} {[\cos (π t + \frac{π}{4})]}_{0}^{x} & = 0 \\ {[\cos (π t + \frac{π}{4})]}_{0}^{x} & = 0 \\ (\cos (π x + \frac{π}{4})) - (\cos (π \cdot 0 + \frac{π}{4})) & = 0 \\ (\cos (π x + \frac{π}{4})) - (\cos (\frac{π}{4})) & = 0 \\ \cos (π x + \frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4}) & = 0 \\ \cos (π x + \frac{π}{4}) & = \cos (\frac{π}{4}) \end{matrix}

Vi vet at vi at følgende uttrykk er like

\begin{matrix} (1) \cos (\frac{π}{4}) & = \cos (2 k π + \frac{π}{4}) der k \in ℤ \\ (2) \cos (\frac{π}{4}) & = \cos (2 k π + \frac{7 π}{4}) der k \in ℤ \end{matrix}

$x$ er begrenset til intervallet $⟨ 0, π ⟩$ , derfor får vi kun en gyldig løsning fra likning $(1)$

x = 2 k ⟹ x = 2

Fra likning $(2)$ får vi følgende løsning

\begin{matrix} π x + \frac{π}{4} & = 2 k π + \frac{7 π}{4} \\ π x & = 2 π k + \frac{6 π}{4} \\ x & = 2 k + \frac{3}{2} \\ x & = \frac{3}{2} hvis x \in ⟨ 0, π ⟩ \end{matrix}

Løsningene er $x = \frac{3}{2}$ og $x = 2$ .

Hvis integralet av $\int_{0}^{x} f (t) d t$ skal være lik 0 så må vi ha nøyaktig like mye areal mellom grafen og $x$ -aksen på den positive og negative siden av $x$ -aksen mellom $0$ og $x$ . For en sinusfunksjon så vil vi like mye areal på begge sider av $x$ -aksen når funksjonen har gjennomført et heltall antall perioder fra tiden $t = 0$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten bruker en riktig strategi, men gjør feil i utregningen. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det er en del av helhetsvurderingen.

Riktig bestemt integral uten å løse likningen kan gi 1 poeng.

En upresis tolkning kan gi 1 poeng. For å få 2 poeng må kandidaten koble areal til løsningene.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2024, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Trigonometri, Delvis integrasjon, Substitusjon, Tolkning av integraler
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Integral med delvis integrasjon og trigonometri

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Integral med delvis integrasjon og trigonometri

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Integral med delvis integrasjon og trigonometri

Integral med delvis integrasjon og trigonometri

Lov på eksamen

Temaer