Vi setter $f(x)=0$:

Dette gir

Siden $x\in ⟨-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}⟩$, har vi $x^2\in [0,{\pi }^2/4⟩$, altså er $1-x^2\in ⟨-\mathrm{0,47}\pi ,1]$ omtrent. Kun $k=0$ gir løsning innenfor dette intervallet:

Begge verdiene ligger i $⟨-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}⟩$, siden $1<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\approx \mathrm{1,57}$.

Nullpunktene er $\underline{\underline{x=-1\text{ og }x=1}}$.

Vi deriverer $f(x)=3-3\cos (1-x^2)$ med kjerneregelen. Kjernen er $u=1-x^2$, med $u^{\prime }=-2x$:

Vi setter $f^{\prime }(x)=0$:

For $\sin (1-x^2)=0$ må $1-x^2=\pi \cdot k$. Med $x^2\in [0,{\pi }^2/4⟩\approx [0,\mathrm{2,47}⟩$ er kun $k=0$ mulig, som gir $x^2=1$, altså $x=\pm 1$ (de samme punktene som i a)).

Kandidatene til topp- og bunnpunkt er dermed $x=-1,x=0$ og $x=1$.

Siden $\cos (1-x^2)\le 1$ for alle $x$, er $f(x)=3-3\cos (1-x^2)\ge 0$ for alle $x$ i definisjonsområdet. Vi vet fra a) at $f(\pm 1)=0$, som da må være minimumsverdier (bunnpunkter). Da må $x=0$ gi et toppunkt, siden $f(0)=3-3\cos (1)\approx \mathrm{1,38}>0$.

Vi vet fra a) og b) at $f$ har nullpunkter (og minimumsverdi $0$) ved $x=\pm 1$, og et toppunkt med $f(0)\approx \mathrm{1,38}$ mellom disse. I tillegg er $f(x)\ge 0$ for alle $x$ i definisjonsområdet, så grafen kan aldri gå under $x$-aksen.

Dette stemmer med graf (1): den berører $x$-aksen nøyaktig i $x=-1$ og $x=1$, har et lokalt toppunkt mellom disse (rundt $y\approx \mathrm{1,4}$), og stiger igjen mot endepunktene uten å bli negativ.

Graf (2) går negativ mellom nullpunktene, og graf (3) har feil form (lokalt bunnpunkt mellom to like store toppunkter, og krysser ikke $x$-aksen ved $x=\pm 1$). Begge er derfor uforenlige med $f(x)\ge 0$ og resultatene fra a) og b).