Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$Firkant ABCD med vinkler 30°, 120°, 75° og sider a, \sqrt 2\cdot a$

Gitt firkanten $A B C D$ .

For hånd

Vis at $B D = \sqrt{3} \cdot a$ .

For hånd

Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.

For hånd

Bestem $a$ slik at arealet av firkanten blir lik $\sqrt{3}$ .

Fasit

$B D = \sqrt{3} \cdot a$

$O = \frac{4 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \cdot a$

$a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Diagonalen $B D$ deler firkanten i to trekanter: $△ A B D$ og $△ B C D$ .

Fra figuren: $A B = A D = a$ , $∠ D A B = 120 °$ , $∠ A B D = 75 °$ (vinkelen mellom $B D$ og $B C$ ), og $B C = \sqrt{2} \cdot a$ .

Vi bruker cosinussetningen i $△ A B D$ med $A B = a$ , $A D = a$ og $∠ D A B = 120 °$ :

B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos (∠ D A B)

B D^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos (120 °) = 2 a^{2} - 2 a^{2} \cdot (- \frac{1}{2}) = 3 a^{2}

Dermed er $B D = \sqrt{3} \cdot a$ (siden $B D > 0$ ).

Se linje 1 i CAS-utklippet under.

Vi finner først alle sidelengder.

Side $A D$ : Bruker sinussetningen i $△ A B D$ . Vi kjenner $∠ D A B = 120 °$ , $∠ A B D = ?$ og $∠ A D B = ?$ . Fra figuren er $∠ A D B = 30 °$ , så $∠ A B D = 180 ° - 120 ° - 30 ° = 30 °$ .

\frac{A D}{\sin (∠ A B D)} = \frac{A B}{\sin (∠ A D B)} ⟹ A D = a \cdot \frac{\sin (30 °)}{\sin (30 °)} = a

Se linje 2 i CAS-utklippet.

Side $C D$ : Bruker cosinussetningen i $△ B C D$ med $B D = \sqrt{3} a$ , $B C = \sqrt{2} a$ og $∠ D B C = 75 °$ :

C D^{2} = B D^{2} + B C^{2} - 2 \cdot B D \cdot B C \cdot \cos (75 °) = 3 a^{2} + 2 a^{2} - 2 \sqrt{6} a^{2} \cdot \cos (75 °)

GeoGebra CAS forenkler dette til $C D^{2} = (\sqrt{3} + 2) a^{2}$ , altså:

C D = \sqrt{\sqrt{3} + 2} \cdot a = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \cdot a

(Se linje 3 i CAS-utklippet — $\sqrt{\sqrt{3} + 2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ .)

Omkretsen er summen av alle fire sider:

O = A B + B C + C D + D A = a + \sqrt{2} a + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} a + a

CAS forenkler dette til (linje 4):

O = \frac{4 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \cdot a

Vi deler firkanten i $△ A B D$ og $△ B C D$ og bruker arealsetningen på begge.

Areal av $△ A B D$ (linje 5 i CAS):

T_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A D \cdot \sin (∠ D A B) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin (120 °) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}

Areal av $△ B C D$ (linje 6 i CAS):

T_{B C D} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot B C \cdot \sin (∠ D B C) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} a \cdot \sqrt{2} a \cdot \sin (75 °) = \frac{(\sqrt{3} + 3)}{4} a^{2}

Totalt areal (linje 7):

T = T_{A B D} + T_{B C D} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} + \frac{\sqrt{3} + 3}{4} a^{2} = \frac{(2 \sqrt{3} + 3)}{4} a^{2}

Vi setter $T = \sqrt{3}$ og løser for $a$ (linje 8 i CAS):

\frac{(2 \sqrt{3} + 3)}{4} a^{2} = \sqrt{3}

CAS gir løsningene $a = \sqrt{2} - \sqrt{6}$ eller $a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ . Siden $a > 0$ og $\sqrt{6} > \sqrt{2}$ , er den gyldige løsningen:

a = \sqrt{6} - \sqrt{2}

GeoGebra CAS — utregninger for oppgave 5

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2021, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, Eksakte verdier
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a

Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer