Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$Firkant ABCD med vinkler 30°, 120°, 75° og sider a, \sqrt 2\cdot a$

Gitt firkanten $ABCD$ .

Vis at $BD=\sqrt{3}\cdot a$ .

Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.

Bestem $a$ slik at arealet av firkanten blir lik $\sqrt{3}$ .

Fasit

$BD = \sqrt{3} \cdot a$

$\underline{\underline{O = \dfrac{4 + 3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \cdot a}}$

$\underline{\underline{a = \sqrt{6} - \sqrt{2}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Diagonalen $BD$ deler firkanten i to trekanter: $\triangle ABD$ og $\triangle BCD$ .

Fra figuren: $AB = AD = a$ , $\angle DAB = 120°$ , $\angle ABD = 75°$ (vinkelen mellom $BD$ og $BC$ ), og $BC = \sqrt{2}\cdot a$ .

Vi bruker cosinussetningen i $\triangle ABD$ med $AB = a$ , $AD = a$ og $\angle DAB = 120°$ :

BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)

BD^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120°) = 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 3a^2

Dermed er $\underline{\underline{BD = \sqrt{3} \cdot a}}$ (siden $BD > 0$ ).

Se linje 1 i CAS-utklippet under.

Vi finner først alle sidelengder.

Side $AD$ : Bruker sinussetningen i $\triangle ABD$ . Vi kjenner $\angle DAB = 120°$ , $\angle ABD = ?$ og $\angle ADB = ?$ . Fra figuren er $\angle ADB = 30°$ , så $\angle ABD = 180° - 120° - 30° = 30°$ .

\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} \implies AD = a \cdot \frac{\sin(30°)}{\sin(30°)} = a

Se linje 2 i CAS-utklippet.

Side $CD$ : Bruker cosinussetningen i $\triangle BCD$ med $BD = \sqrt{3}\,a$ , $BC = \sqrt{2}\,a$ og $\angle DBC = 75°$ :

CD^2 = BD^2 + BC^2 - 2 \cdot BD \cdot BC \cdot \cos(75°) = 3a^2 + 2a^2 - 2\sqrt{6}\,a^2 \cdot \cos(75°)

GeoGebra CAS forenkler dette til $CD^2 = (\sqrt{3}+2)\,a^2$ , altså:

CD = \sqrt{\sqrt{3}+2}\cdot a = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\cdot a

(Se linje 3 i CAS-utklippet — $\sqrt{\sqrt{3}+2} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ .)

Omkretsen er summen av alle fire sider:

O = AB + BC + CD + DA = a + \sqrt{2}\,a + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\,a + a

CAS forenkler dette til (linje 4):

\boxed{O = \frac{4 + 3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \cdot a}

Vi deler firkanten i $\triangle ABD$ og $\triangle BCD$ og bruker arealsetningen på begge.

Areal av $\triangle ABD$ (linje 5 i CAS):

T_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2

Areal av $\triangle BCD$ (linje 6 i CAS):

T_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BC \cdot \sin(\angle DBC) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}\,a \cdot \sqrt{2}\,a \cdot \sin(75°) = \frac{(\sqrt{3}+3)}{4}\,a^2

Totalt areal (linje 7):

T = T_{ABD} + T_{BCD} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 + \frac{\sqrt{3}+3}{4}\,a^2 = \frac{(2\sqrt{3}+3)}{4}\,a^2

Vi setter $T = \sqrt{3}$ og løser for $a$ (linje 8 i CAS):

\frac{(2\sqrt{3}+3)}{4}\,a^2 = \sqrt{3}

CAS gir løsningene $a = \sqrt{2} - \sqrt{6}$ eller $a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ . Siden $a > 0$ og $\sqrt{6} > \sqrt{2}$ , er den gyldige løsningen:

\underline{\underline{a = \sqrt{6} - \sqrt{2}}}

GeoGebra CAS — utregninger for oppgave 5

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, Eksakte verdier
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a

Sync på tvers av enheter

Firkant ABCD med BD lik rot tre ganger a

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave