Eksponentiallikning med substitusjon

Løs likningen

100^{x} - 3 \cdot 10^{x} = 4

Fasit

$x = \log 4$

Løsningsforslag

Jeg ser at likningen består av tierpotenser.

\begin{matrix} 100^{x} - 3 \cdot 10^{x} & = 4 \\ {(10^{x})}^{2} - 3 \cdot 10^{x} - 4 & = 0 \end{matrix}

Dette ser jeg at kan skrives som en andregradslikning hvor $u = 10^{x}$ .

u^{2} - 3 u - 4 = 0 ⟹ \underset{Heltallsmetode}{\underset{⏟}{(u - 4) (u + 1) = 0}} ⟹ u = 4 \lor u = - 1

Vi bytter substituerer tilbake.

\begin{matrix} 10^{x} & = 4 \lor \underset{10^{x} er positivt}{\underset{⏟}{10^{x} = - 1}} \\ \log 10^{x} & = \log 4 \\ x & = \log 4 \end{matrix}

Løsningen er $x = \log 4$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

1 poeng for å skrive om uttrykket og løse 2.gradslikningen. 1 poeng for riktig løsning.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2024, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: S1, R1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Logaritmer, Likninger
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger

Innstillinger