Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Firkant ABCD med vinkler 45°, 75°, 120° og sider 2a, 2a

Gitt firkanten $ABCD$ ovenfor.

Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.

Vis at forholdet mellom arealet av $\triangle ABD$ og arealet av $\triangle BCD$ er $\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)$ .

Fasit

$\underline{\underline{O = a(7 + \sqrt{3} + 3\sqrt{2})}}$

$\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}} = \dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi trekker diagonalen $BD$ , som deler firkanten i $\triangle BCD$ og $\triangle ABD$ .

Merk om vinklene: Av figuren er $\angle BCD = 120°$ (vinkel i firkanten), $\angle ABD = 75°$ (vinkelen i $\triangle ABD$ ved $B$ ), og $\angle DAB = 45°$ (vinkel i firkanten ved $A$ ).

Steg 1 – Finn $BD$ med cosinussetningen i $\triangle BCD$ .

$\triangle BCD$ er likebeint med $BC = CD = 2a$ og $\angle BCD = 120°$ .

BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120°)

BD^2 = 4a^2 + 4a^2 - 2 \cdot 2a \cdot 2a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 8a^2 + 4a^2 = 12a^2

BD = 2a\sqrt{3}

Steg 2 – Finn $AB$ og $AD$ med sinussetningen i $\triangle ABD$ .

I $\triangle ABD$ er $\angle DAB = 45°$ , $\angle ABD = 75°$ , dermed $\angle ADB = 180° - 45° - 75° = 60°$ .

Sinussetningen gir (CAS bekrefter, se utklipp):

\frac{BD}{\sin(\angle DAB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}

AD = BD \cdot \frac{\sin 75°}{\sin 45°} = 2a\sqrt{3} \cdot \frac{\sin 75°}{\sin 45°} = (\sqrt{3}+3)\,a

AB = BD \cdot \frac{\sin 60°}{\sin 45°} = 2a\sqrt{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3a\sqrt{2}

CAS-utregning av BD, AD, AB og omkrets

Steg 3 – Beregn omkretsen.

O = AB + BC + CD + DA = 3a\sqrt{2} + 2a + 2a + (\sqrt{3}+3)\,a

\boxed{O = a\left(7 + \sqrt{3} + 3\sqrt{2}\right)}

Areal av $\triangle BCD$ (to like sider og mellomliggende vinkel):

S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a \cdot \sin 120° = 2a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a^2\sqrt{3}

Areal av $\triangle ABD$ (to sider og mellomliggende vinkel $\angle DAB = 45°$ ):

S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB) = \frac{1}{2} \cdot 3a\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+3)\,a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

= \frac{1}{2} \cdot 3a\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+3)\,a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3a^2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3}+3)}{4} = \frac{3a^2(\sqrt{3}+3)}{2}

CAS bekrefter: $S_{\triangle ABD} = \dfrac{3\sqrt{3}+9}{2}\,a^2$ (se utklipp, rad 7).

Forholdet:

\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}} = \frac{\dfrac{3(\sqrt{3}+3)}{2}\,a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{3(\sqrt{3}+3)}{2\sqrt{3}}

Vi rasjonaliserer ved å gange teller og nevner med $\sqrt{3}$ :

= \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+3)}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+3)}{2} = \frac{3 + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3(1+\sqrt{3})}{2} = \frac{3}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)

\boxed{\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}} = \frac{3}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Arealsetningen, Cosinussetningen, Eksakte verdier
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Sync på tvers av enheter

Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave