Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Firkant ABCD med vinkler 45°, 75°, 120° og sider 2a, 2a

Gitt firkanten $A B C D$ ovenfor.

For hånd

Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.

For hånd

Vis at forholdet mellom arealet av $△ A B D$ og arealet av $△ B C D$ er $\frac{3}{2} (\sqrt{3} + 1)$ .

Fasit

$O = a (7 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{2})$

$\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{3}{2} (\sqrt{3} + 1)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi trekker diagonalen $B D$ , som deler firkanten i $△ B C D$ og $△ A B D$ .

Merk om vinklene: Av figuren er $∠ B C D = 120 °$ (vinkel i firkanten), $∠ A B D = 75 °$ (vinkelen i $△ A B D$ ved $B$ ), og $∠ D A B = 45 °$ (vinkel i firkanten ved $A$ ).

Steg 1 – Finn $B D$ med cosinussetningen i $△ B C D$ .

$△ B C D$ er likebeint med $B C = C D = 2 a$ og $∠ B C D = 120 °$ .

B D^{2} = B C^{2} + C D^{2} - 2 \cdot B C \cdot C D \cdot \cos (120 °)

B D^{2} = 4 a^{2} + 4 a^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot 2 a \cdot (- \frac{1}{2}) = 8 a^{2} + 4 a^{2} = 12 a^{2}

B D = 2 a \sqrt{3}

Steg 2 – Finn $A B$ og $A D$ med sinussetningen i $△ A B D$ .

I $△ A B D$ er $∠ D A B = 45 °$ , $∠ A B D = 75 °$ , dermed $∠ A D B = 180 ° - 45 ° - 75 ° = 60 °$ .

Sinussetningen gir (CAS bekrefter, se utklipp):

\frac{B D}{\sin (∠ D A B)} = \frac{A D}{\sin (∠ A B D)} = \frac{A B}{\sin (∠ A D B)}

A D = B D \cdot \frac{\sin 75 °}{\sin 45 °} = 2 a \sqrt{3} \cdot \frac{\sin 75 °}{\sin 45 °} = (\sqrt{3} + 3) a

A B = B D \cdot \frac{\sin 60 °}{\sin 45 °} = 2 a \sqrt{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3 a \sqrt{2}

CAS-utregning av BD, AD, AB og omkrets

Steg 3 – Beregn omkretsen.

O = A B + B C + C D + D A = 3 a \sqrt{2} + 2 a + 2 a + (\sqrt{3} + 3) a

O = a (7 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{2})

Areal av $△ B C D$ (to like sider og mellomliggende vinkel):

S_{△ B C D} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot C D \cdot \sin (∠ B C D) = \frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot 2 a \cdot \sin 120 ° = 2 a^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a^{2} \sqrt{3}

Areal av $△ A B D$ (to sider og mellomliggende vinkel $∠ D A B = 45 °$ ):

S_{△ A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A D \cdot \sin (∠ D A B) = \frac{1}{2} \cdot 3 a \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 3) a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

= \frac{1}{2} \cdot 3 a \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 3) a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 a^{2} \cdot 2 \cdot (\sqrt{3} + 3)}{4} = \frac{3 a^{2} (\sqrt{3} + 3)}{2}

CAS bekrefter: $S_{△ A B D} = \frac{3 \sqrt{3} + 9}{2} a^{2}$ (se utklipp, rad 7).

Forholdet:

\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{\frac{3 (\sqrt{3} + 3)}{2} a^{2}}{a^{2} \sqrt{3}} = \frac{3 (\sqrt{3} + 3)}{2 \sqrt{3}}

Vi rasjonaliserer ved å gange teller og nevner med $\sqrt{3}$ :

= \frac{3 \sqrt{3} (\sqrt{3} + 3)}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 3)}{2} = \frac{3 + 3 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 (1 + \sqrt{3})}{2} = \frac{3}{2} (\sqrt{3} + 1)

\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{3}{2} (\sqrt{3} + 1)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men regner feil, får 1 eller 2 poeng. Riktige mellomregninger gir poeng, selv om svaret er feil. Riktig svar som ikke er gitt eksakt, gir 2 poeng.

En kandidat som velger en riktig strategi, men regner feil, får 1 poeng. Riktige mellomregninger gir poeng, selv om svaret er feil.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2022, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Arealsetningen, Cosinussetningen, Eksakte verdier
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer