Cosinussetning med to løsninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nina og Edvard arbeider med å finne en ukjent side $x$ i en trekant. De har brukt cosinussetningen og satt opp likningen

14^2=16^2+x^2-16x

Hvilke opplysninger kan Nina og Edvard ha fått om trekanten?

Siden likningen ovenfor er en andregradslikning, antar Nina at det er to ulike trekanter som passer med opplysningene de har fått.

Løs likningen og lag én skisse som viser at Ninas antakelse er riktig. Sett mål på skissen.

Nina og Edvard vet at andregradslikninger kan ha to løsninger, én løsning eller ingen løsning. Edvard bytter ut $14^2$ med $5^2$ . Da har likningen ovenfor ingen løsning.

«Det kunne vi sett om vi hadde laget en skisse», sier Nina. «Jeg lurer på hvilket tall vi måtte erstattet $14^2$ med for å få nøyaktig én løsning.»

Ta utgangspunkt i skissen du har laget. Gjør beregninger og bestem lengdene av sidene i det tilfellet der likningen har nøyaktig én løsning. Bruk eksakte verdier.

Fasit

To kjente sider $16$ og $x$ , med mellomliggende vinkel $60°$ .

$\underline{\underline{x = 6}}$ eller $\underline{\underline{x = 10}}$

Den tredje siden er $\underline{\underline{8\sqrt{3}}}$ , og $x = \underline{\underline{8}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Cosinussetningen sier at $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ . Vi sammenligner med likningen

14^2 = 16^2 + x^2 - 16x

og ser at leddet $-16x$ svarer til $-2 \cdot 16 \cdot x \cdot \cos A$ , som gir

-2 \cdot 16 \cdot x \cdot \cos A = -16x \implies \cos A = \frac{1}{2} \implies A = 60°

Nina og Edvard har altså en trekant med to kjente sider $16$ og $x$ , der den mellomliggende vinkelen er $60°$ . Den tredje siden (motstående $A$ ) er $14$ .

Vi løser andregradslikningen i GeoGebra CAS:

14^2 = 16^2 + x^2 - 16x

GeoGebra CAS – løsning av likningen

CAS gir $\textcolor{seagreen}{x = 6}$ eller $\textcolor{steelblue}{x = 10}$ .

Begge løsningene er positive og kan være sider i en trekant. Ninas antakelse er altså riktig — det finnes to ulike trekanter:

Trekant 1: sider $14$ , $16$ , $\textcolor{seagreen}{6}$ , med $60°$ mellom sidene $16$ og $6$ .
Trekant 2: sider $14$ , $16$ , $\textcolor{steelblue}{10}$ , med $60°$ mellom sidene $16$ og $10$ .

Skisse (begge trekantene):

         14             14
    /‾‾‾‾‾‾‾‾\     /‾‾‾‾‾‾‾‾\
   /  60°      \   /  60°      \
  /____________\ /____________\
  16      6        16     10

(Vinkelen på $60°$ er mellom sidene $16$ og $x$ , motstående side er $14$ .)

For at likningen

a^2 = 16^2 + x^2 - 16x \implies x^2 - 16x + (256 - a^2) = 0

skal ha nøyaktig én løsning, må diskriminanten være null:

D = 16^2 - 4(256 - a^2) = 0

256 - 1024 + 4a^2 = 0

4a^2 = 768

a^2 = 192

a = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}

CAS bekrefter: $\textup{Løs}(4a^2 - 768 = 0, a) \to a = 8\sqrt{3}$ (positiv løsning).

Da er $x = \dfrac{16}{2} = 8$ (dobbeltrot: $x = \dfrac{-(-16)}{2 \cdot 1} = 8$ ).

Trekanten har sidene $\underline{\underline{8\sqrt{3}}}$ , $16$ og $\underline{\underline{8}}$ , med $60°$ mellom sidene $16$ og $8$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Cosinussetningen, Andregradslikninger, Trigonometri, Argumentasjon
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Cosinussetning med to løsninger

Sync på tvers av enheter

Cosinussetning med to løsninger

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave