Bøye i bølger trigonometrisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bøye sett ved tre ulike tidspunkt, med høyeste punkt, likevektslinjen og laveste punkt markert. Avstanden fra høyeste til laveste punkt er 2,4 m.

En bøye beveger seg opp og ned med bølgene. I løpet av $4 s$ vil bøyen bevege seg $2,4 m$ i vertikal retning fra det høyeste punktet til det laveste punktet.

La $f (t)$ være høyden til bøyen (i meter) over likevektslinjen ved tidspunktet $t$ (målt i sekunder). Anta at bøyen er på sitt høyeste punkt når $t = 0$ .

Vi går ut fra at $f (t)$ kan skrives på formen

f (t) = A \sin (c t + φ)

Bestem funksjonsuttrykket til $f$ .

Når er bøyen $0,6 m$ over likevektslinjen i løpet av de $10$ første sekundene?

Fasit

$f (t) = 1,2 \sin (\frac{π}{4} t + \frac{π}{2})$

$t = \frac{4}{3}, \frac{20}{3}, \frac{28}{3} s$ (dvs. $t \approx 1,33 s$ , $6,67 s$ og $9,33 s$ )

LøsningsforslagKI-generert

Amplituden $A$ er halve avstanden mellom høyeste og laveste punkt:

A = \frac{2,4}{2} = 1,2

Bøyen bruker $4 s$ på å bevege seg fra høyeste til laveste punkt, altså en halv periode. Perioden er dermed $T = 8 s$ , og

c = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{8} = \frac{π}{4}

Siden bøyen er på sitt høyeste punkt ved $t = 0$ , må $f (0) = A$ :

A \sin (φ) = A \Rightarrow \sin (φ) = 1 \Rightarrow φ = \frac{π}{2}

Funksjonsuttrykket blir

f (t) = 1,2 \sin (\frac{π}{4} t + \frac{π}{2})

Vi løser $f (t) = 0,6$ for $t \in [0, 10]$ :

1,2 \sin (\frac{π}{4} t + \frac{π}{2}) = 0,6

\sin (\frac{π}{4} t + \frac{π}{2}) = 0,5

Setter $u = \frac{π}{4} t + \frac{π}{2}$ . Da er

u = \frac{π}{6} + 2 π k eller u = \frac{5 π}{6} + 2 π k, k \in ℤ

Setter tilbake $u$ og løser for $t$ :

\frac{π}{4} t + \frac{π}{2} = \frac{π}{6} + 2 π k \Rightarrow t = - \frac{4}{3} + 8 k

\frac{π}{4} t + \frac{π}{2} = \frac{5 π}{6} + 2 π k \Rightarrow t = \frac{4}{3} + 8 k

Setter inn verdier for $k$ og plukker ut løsningene som ligger i $[0, 10]$ :

$k = 0$ : $t = \frac{4}{3} \approx 1,33$
$k = 1$ : $t = \frac{20}{3} \approx 6,67$ og $t = \frac{28}{3} \approx 9,33$

Bøyen er $0,6 m$ over likevektslinjen ved

t = \frac{4}{3} s, t = \frac{20}{3} s, t = \frac{28}{3} s

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2018, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Modellering, Likninger

Bøye i bølger trigonometrisk modell

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bøye i bølger trigonometrisk modell

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bøye i bølger trigonometrisk modell

Bøye i bølger trigonometrisk modell

Lov på eksamen

Temaer