Bestem f ut fra den deriverte

Bestem et uttrykk for funksjonen $f$ når du får vite at

$f^{'} (x) = - \frac{2}{x^{3}}$
Arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = 1$ og $x = 2$ er $\frac{11}{14}$ . Dette arealet ligger over $x$ -aksen.

Fasit

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{7}$

Løsningsforslag

Vi vet at $f^{'} (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ vil ha uendelig mange antideriverte med ulike konstantledd

\int - \frac{2}{x^{3}} d x = \int - 2 x^{- 3} d x = \frac{- 2}{- 2} x^{- 2} + C = \frac{1}{x^{2}} + C

Her er $C$ et hvilket som helst tall. Siden vi har fått vite at arealet av området som avgrenses av grafen til $f$ , $x = 1$ , $x = 2$ og $x$ -aksen er lik $\frac{11}{14}$ , samt at hele arealet ligger over $x$ -aksen, kan vi bruke et bestemt integral for å finne verdien av $C$ .

\begin{matrix} \int_{1}^{2} (\frac{1}{x^{2}} + C) d x & = \frac{11}{14} \\ \int_{1}^{2} (x^{- 2} + C) d x & = \frac{11}{14} \\ {[- \frac{1}{x} + C x]}_{1}^{2} & = \frac{11}{14} \\ (- \frac{1}{2} + C \cdot 2) - (- \frac{1}{1} + C \cdot 1) & = \frac{11}{14} \\ - \frac{1}{2} + 2 C + \frac{1}{1} - C & = \frac{11}{14} \\ C & = \frac{11}{14} - \frac{1}{2} = \frac{2}{7} \end{matrix}

Vår antideriverte til $f^{'} (x)$ har altså $C = \frac{2}{7}$ , derfor har vi for alle $x \neq 0$ :

f (x) = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{7}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

1 poeng for riktig integrasjon av $f^{'} (x)$ og 1 poeng for å finne konstanten.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2025, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Integrasjon, Tolkning av integraler, Areal under graf, Bestemt integral
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Bestem f ut fra den deriverte

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bestem f ut fra den deriverte

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Lov på eksamen

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bestem f ut fra den deriverte

Bestem f ut fra den deriverte

Lov på eksamen

Lov på eksamen

Temaer